§ 8. Приближение функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в каждой точке некоторого отрезка Пусть теперь нам задана функция известная своими значениями в конечном числе точек отрезка Для тех или иных целей бывает необходимо найти удобное и точное в каком-то смысле аналитическое представление этой функции на всем отрезке идин из таких способов представления мы уже рассмотрели в главе об интерполировании. Но интерполяционный способ нельзя считать наиболее удобным по двум причинам; Во-первых, если число узлов велико, то мы получаем громоздкие выражения для интерполяционных многочленов. Во-вторых, если табличные значения функции подвержены каким-то случайным ошибкам, например ошибкам измерения, то эти ошибки будут внесены в интерполяционный многочлен и тем самым исказят истинную картину поведения функции.

В этом параграфе мы введем другие принципы построения аналитических выражений для табличных функций. Пусть снова какая-то система линейно независимых функций на Будем разыскивать обобщенный многочлен, составленный из этих функций, так, чтобы

имело наименьшее возможное значение. В тех случаях, когда известии что значения имеют неодинаковую точность, можно вводить веса и минимизировав сумму

Теорию построения таких обобщенных многочленов можно ввести в рамки той общей теории, которая развита в начале этой главы.

Для этого рассматриваем в качестве множества всевозможные функции, заданные на Функции считаются тождественными, если Нулевым элементом будем считать любую функцию, обращающуюся в нуль в точках Операции сложения элементов и умножения их на числа вводятся естественным образом.

В этом множестве вводим скалярное произведение

где заданные положительные числа. Очевидно, все свойства скалярного произведения выполнены. Норма элемента вводится обычным образом:

Всевозможные линейные комбинации функций образуют линейное -мерное подмножество Следовательно, на основании общей теории в этом подмножестве найдется элемент наилучшего приближения для в смысле той метрики, которую мы ввели. Этот элемент будет единствен. Но нужно помнить, что за этим элементом будет скрываться целое множество функций нашего подмножества, принимающих в точках заданные значения.

Будем теперь предполагать, что функции образуют систему Чебышева. Тогда обобщенный многочлен, принимающий в точках заданные значения, будет единствен. Действительно, если бы имелось два таких многочлена, то их разность обращалась бы в нуль в точках Но мы предположили, что Следовательно, При единственное решение поставленной задачи даст интерполяционный многочлен. Если то мы будем говорить, что нами получено приближение по методу наименьших квадратов.

Практическое отыскание многочлена наилучшего приближения по методу наименьших квадратов также не выходит за рамки общей теории. Если

является многочленом наилучшего приближения для то должно быть

или, вводя обозначения

найдем, что удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:

Определитель этой системы как определитель Грамма системы линейно независимых элементов положителен и найдутся единственным образом.

Можно было бы даже не изменять обозначений предыдущей части этой главы, если бы мы там ввели скалярное произведение как

где некоторая фиксированная функция ограниченной вариации, а интеграл берется в смысле Лебега — Стильтьеса. При этом мы пришли бы к результатам этого параграфа, если взяли бы в качестве некоторую функцию, имеющую 1 точек роста