§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций обобщенными многочленами

1. Наилучшее приближение в пространстве С.

Возьмем теперь в качестве линейного множества совокупность С всех непрерывных на функций. В качестве нормы примем:

Нетрудно проверить, что все условия, требуемые от нормы, при этом выполнены. Наша норма определяет метрику пространства С, о котором говорилось во Введении. Пусть какие-то линейно независимых функций из С. В качестве возьмем совокупность линейных комбинаций с действительными коэффициентами.

Элемент принадлежащий будет являться элементом наилучшего равномерного приближения для если

принимает наименьшее возможное значение. На основании результатов предыдущего параграфа можно заключить, что такой элемент всегда существует. Но полученное нами достаточное условие единственности элемента наилучшего приближения здесь неприменимо. Действительно, пусть Тогда

т. е.

хотя функции независимы на [0, 1], т. е. наше пространство С не является строго нормированным.

2. Теорема Хаара.

Для пространства которое мы сейчас рассматриваем, Хааром была доказана следующая теорема:

Для того чтобы для любой заданной функции существовал единственный обобщенный многочлен наилучшего

приближения, необходимо и достаточно, чтобы функции образовывали систему Чебышева, т. е. любой обобщенный многочлен по этой системе функций имел на отрезке не более различных нулей.

Докажем эту теорему. Для доказательства необходимости покажем, что если существует обобщенный многочлен

имеющий на больше к нулей, то существует непрерывная на функция для которой имеется несколько обобщенных многочленов наилучшего приближения. Пусть обращается в нуль в точках

Так как то среди чисел по крайней мере одно отлично от нуля и, следовательно,

Это значит, что между строками матрицы имеется линейная зависимость, т. е. существуют такие, не равные одновременно нулю числа что при к

Из последнего равенства следует, что для любого обобщенного многочлена имеет место равенство

Пусть X — некоторое положительное число, удовлетворяющее условию

Построим непрерывную на функцию так, чтобы в точке х она принимала значение если положительно, и —1, если отрицательно, а во всех остальных точках отрезка по абсолютной величине не превосходила бы 1. Функция

будет обладать теми же свойствами. Покажем, что для существует бесчисленное множество обобщенных многочленов наилучшего

приближения. Действительно, для любого обобщенного многочлена уклонение не меньше 1, т. е.

Если бы для некоторого многочлена уклонение было меньше 1, то в точке знак совпадал со знаком (так как , т. е. со знаком а в этом случае было бы невозможно равенство (1). Таким образом, .

С другой стороны, при любом удовлетворяющем условию будем иметь:

Итак, для любого многочлена

т. е. являются многочленами наилучшего приближения при любом

Теперь докажем достаточность условий Хаара, т. е. докажем, что если система удовлетворяет им, то для любой непрерывной на функции не может существовать двух различных многочленов наилучшего приближения". Для этого предварительно докажем несколько свойств систем Чебышева.

1. Если существуют точки для которых

то для произвольного натурального числа можно найти такие точки что

Рассмотрим обобщенный многочлен

Так как коэффициент при отличен от нуля, то Поэтому найдется такая точка в которой Таким образом,

Повторяя эти рассуждения раз, получим точки существование которых утверждалось.

2. Если при произвольные различные точки отрезка то по крайней мере один из определителей порядка матрицы

отличен от нуля.

Будем доказывать это свойство методом индукции. Пусть матрица состоит из одной строки

Допустим, что все элементы этой строки равны нулю. Возьмем любую точку для которой используя первое свойство, найдем такие точки что

Рассмотрим многочлен

Он не равен тождественно нулю, так как коэффициент при отличен от нуля. Но т. е. имеет нуль на что невозможно, так как по предположению удовлетворяют условиям Хаара Таким образом, свойство 2 имеет место при Пусть оно имеет место при и предположим, не нарушая общности, что

На основании свойства 1 найдутся такие точки что

Но тогда обобщенный многочлен

не обращается в нуль тождественно. Если бы при наше утверждение было неверно, т. е. все определители исходной матрицы при обращались в нуль, то многочлен имел бы нулей что невовможно. Итак, и второе утверждение доказано. 3. Если уравнение

имеет на меньше, чем различных корней, то не является многочленом наилучшего приближения функции

Пусть при все корни нашего уравнения. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

относительно неизвестных По второму свойству матрица этой системы имеет ранг совпадающий с числом уравнений. Следовательно, система совместна. Пусть одно из ее решений. Рассмотрим обобщенный многочлен

и функцию Для каждой точки выберем столь малую окрестность чтобы имели место неравенства:

Это возможно, так как Пусть

где есть совокупность точек отрезка не принадлежащих окрестностям Разность

— строго положительное число. Пусть положительное число, удовлетворяющее условию

Положим Тогда

Если

Если

Итак,

и не является многочленом наилучшего приближения.

Теперь можно доказать достаточность условий Хаара. Допустим противное, т. е. предположим, что для функции имеются два многочлена наилучшего приближения:

т. е.

Рассмотрим многочлен

Для него имеет место неравенство

т. е.

Но так как

то

Таким образом, является многочленом наилучшего приближения а следовательно, уравнение

имеет на отрезке по крайней мере различных корней Но для того, чтобы имело место равенство

необходимо наличие равенств

т. е.

Отсюда обобщенный многочлен

должен обращаться в нуль в различных точках отрезка что невозможно, так как функции образуют систему Чебышева. Доказательство теоремы Хаара закончено.