ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
§ 1. Классификация погрешностей
1. Источники погрешности результатов вычислений.
Во введении мы уже говорили о том, насколько важно уметь оценивать точность полученного результата. Откуда же могут возникнуть ошибки? Таких причин много. Во-первых, исходные данные для вычислений часто получаются из эксперимента, а каждый эксперимент может дать результат с ограниченной точностью. Во-вторых, в процессе вычислений приходится использовать иррациональные величины, такие, например, как 
Так как при вычислении на цифровых машинах мы можем использовать ограниченное количество разрядов, то эти числа также будут представлены лишь приближенно. В-третьих, во многих случаях существующие методы решения задач могут дать точный ответ лишь после бесконечного числа шагов. Так как практически это осуществить нельзя, то мы будем вынуждены остановиться на каком-то конечном шаге и, следовательно, не достигнем точного значения, например, при вычислении суммы ряда мы ограничиваемся суммой конечного числа первых членов. В-четвертых, уже при таких простейших операциях, как умножение и деление, у нас может сильно возрас 
количество разрядов и результаты могут не помещаться в счетчиках или других устройствах машины. В этом случае мы будем вынуждены отбросить некоторое количество разрядов. Наконец, исходные погрешности будут последовательно переходить-, преобразовываясь, от операции к операции и порождать новые погрешности.
Влияние описанных выше погрешностей на точность результата может оказаться значительно большим, чем это обычно
Рис. 18.
представляют даже при не очень сложных вычислениях. Представим себе, что нам требуется найти объем шара, касающегося цилиндра радиуса 
и двух касательных к нему взаимно-перпендикулярных плоскостей (рис. 18). Легко найти, что радиус шара 
будет равен
а объем
Но
Подсчитаем последние три выражения, взяв за приближенные значения У 2 два числа: 
Так как 
то каждое из выбранных нами значений довольно близко к точному и второе из них точнее. Результаты вычислений сведем в таблицу:
Мы получили значительно отличающиеся друг от друга ответы, и не видно сразу, какой из них ближе к верному. Из приведенного примера видно, с какой осторожностью нужно обращаться с приближенными числами.
