§ 1. Гильбертовы пространства

Введем еще одно очень важное понятие функционального анализа Пусть некоторое линейное множество. Будем говорить, что в нем определено скалярное произведение, если каждой паре его элементов взятых в определенном порядке, поставлено в соответствие комплексное число называемое скалярным произведением этих элементов, удовлетворяющее следующим условиям:

1) скалярные произведения являются комплексно-сопряженными числами

2) для любых элементов и любых комплексных чисел а, и имеет место равенство

3) скалярное произведение элемента на самого себя есть неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда , т. е.

Из этих свойств скалярного произведения следует, что

В самом деле,

Далее, для любых элементов имеет место неравенство

называемое неравенством Буняковского.

Действительно, если то доказываемое неравенство очевидно. Пусть теперь Скалярный квадрат

элемента где X — произвольное действительное число, а по свойству 3 скалярного произведения есть неотрицательное число, т. е.

Так как это неравенство справедливо для любого действительного числа X, то дискриминант квадратного трехчлена относительно X, стоящего в правой части неравенства, отрицателен, т. е.

Заметим, что знак равенства достигается здесь тогда и только тогда, если при некотором

Если в линейном множестве определено скалярное произведение, то его можно нормировать, определив норму элемента следующим образом:

При этом все свойства нормы будут выполнены. В самом деле, только при

но по неравенству Буняковского

Отсюда

т. е.

Знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда

Следовательно, в этом случае,

Как мы заметили при доказательстве неравенства Буняковского, тогда найдутся и действительное X такие, что

Отсюда

Подставляя это выражение для в предыдущее равенство, получим

или

если только Таким образом, наше множество строго нормировано (см. § 1 гл. 4).

Итак, линейное множество, в котором определено скалярное произведение, становится линейным нормированным пространством, а следовательно и метрическим пространством. Поэтому в нем можно ввести все те понятия, о которых говорилось во Введении и в четвертой главе.

Линейное пространство в котором введено понятие скалярного произведения, называется гильбертовым пространством, если оно сепарабельно, т. е. в нем существует счетное всюду плотное множество элементов.

В линейном множестве с опредетенным в нем скалярным произведением легко установить линейную зависимость или независимость системы элементов Для этого введем понятие определителя Грамма системы.

Определителем Грамма системы элементов назовем определитель

Имеет место теорема:

Для того чтобы система элементов множества была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грамма этой системы обращался в нуль.

Докажем сначала необходимость, т. е. покажем, что если система линейно зависима, то Если -линейно зависимая система элементов то существует такая система чисел среди которых имеются отличные от нуля, что

Умножая скалярно это равенство слева последовательно на получим:

Рассматривая полученные равенства как систему уравнений с неизвестными мы видим, что она имеет нетривиальное решение. Следовательно, ее определитель, являющийся определителем Грамма системы элементов равен нулю.

Докажем теперь достаточность, т. е. предположим, что и покажем, что система линейно зависима. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно

Так как определитель этой системы то она имеет нетривиальное решение. Пусть это решение будет Обозначим через элемент множества равный Тогда из системы уравнений имеем:

Отсюда

а это означает, что т. е.

а так как среди чисел имеется хотя бы одно, отличное от нуля, то это означает, что система линейно зависима.