§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения

Из второй главы нам известно, что тригонометрические функции

также образуют систему Чебышева на полуотрезке . Поэтому и к ним применима общая теория, изложенная в § 2. И в этом случае отклонение функции от тригонометрического многочлена наилучшего приближения будет стремиться к нулю, что подтверждается следующей теоремой, носящей название второй теоремы Вейерштрасса:

Если непрерывная периодическая функция с периодом то для любого существует такой тригонометрический многочлен что при всех имеет место неравенство

Доказательство. Докажем сначала лемму.

Если непрерывная на функция, то для всякого существует четный тригонометрический многочлен удовлетворяющий неравенству

В самом деле, сделаем замену независимого переменного Тогда функция будет непрерывна на отрезке и по первой теореме Вейерштрасса найдется

такой алгебраический многочлен что для всех будет иметь место неравенство

Возвращаясь к старому переменному, будем иметь:

Но

есть четный тригонометрический многочлен, ибо

В последнем равенстве вторая сумма равна нулю, так как члены, равноотстоящие от концов, имеют противоположные знаки и взаимно уничтожаются. Следовательно,

Заменяя в степени и приводя подобные члены, получим:

и лемма доказана.

Для доказательства самой теоремы рассмотрим функции

Это — четные периодические функции с периодом непрерывные для всех х. В соответствии с леммой при заданном можно найти такие четные тригонометрические многочлены что при всех будут иметь место неравенства:

В силу четности всех функций, входящих в эти неравенства, они останутся справедливыми и для а по периодичности и для всех Таким образом,

где

Умножая первое из этих равенств на а второе на и беря их полусумму, получим:

где

Рассмотрим теперь функцию Эта функция снова принадлежит к Следовательно, имеется тригонометрический многочлен для которого справедливо аналогичное равенство:

где при

Заменим здесь на х. Получим:

где для всех х. Складывая почленно равенства (2) и (3), получим:

Так как при всех х, то, вводя обозначение

будем иметь:

для всех х, что требовалось доказать.

Вторая теорема Вейерштрасса может быть сформулирована и следующим образом:

Непрерывная периодическая функция с периодом может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов. Из нее также следует высказанное в начале параграфа утверждение.