3. Интерполяционная схема Эйткена.

Если значения неравноотстоящие и требуется найти не общее выражение а лишь его значения при некоторых х, то удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена. По этой схеме значение интерполяционного многочлена для какого-то значения х находится путем последовательного применения единообразного процесса. Рассметрим выражение

Это многочлен первой степени относительно х. При получим:

Аналогично при будем иметь:

Так как многочлен первой степени, принимающий в точках значения единственный, то и решает задачу интерполирования по двум данным. Точно так же мы сможем образовать Эти выражения легко вычисляются на малых счетных машинах. В самом деле, вычисление определителя второго порядка сводится к вычислению разности двух произведений, что осуществляется очень легко. При этом на счетчике оборотов, если он оборудован переносом десятков, как это сделано в машинах Рейнметалл, Мерседес и других, получится разность на которую и нужно разделить величину определителя. Рассмотрим, далее,

Это — многочлен второй степени относительно х. При будем иметь:

При получим:

а при

Следовательно, совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа, принимающим в точках соответственно значения Вообще,

будет интерполяционным многочленом Лагранжа, принимающим в точках соответственно значения

Очевидно, что порядок и нумерация точек при этом значения не имеют. Каждый многочлен получается из так же, как и получается из Вычислительная схема для получения значения интерполяционного многочлена будет выглядеть следующим образом:

(см. скан)

Так, по данным второго примера этого параграфа получим следующие значения (здесь взято :

(см. скан)

Если подставить в полученный там многочлен значение то получим ту же величину

Интересно то, что, применяя последнюю схему, мы можем постепенно подключать все новые и новые значения х до тех пор, пока сами вычисления не покажут нам, что точность уже не возрастает.

Исследуем теперь различного рода погрешности, получающиеся при применении интерполяционного многочлена Лагранжа.