Главная > Методы вычислений, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Теорема Чебышева.

Докажем еще одну теорему, являющуюся обобщением теоремы Чебышева. Будем опять предполагать, что мы рассматриваем линейное нормированное пространство непрерывных на функций с нормой

и его подпространство образованное всевозможными линейными комбинациями

функций с действительными постоянными коэффициентами. Функции принадлежат и образуют систему Чебышева. Для функций обозначим

Тогда теорема Чебышева может быть сформулирована следующим образом:

Для того чтобы функция являлась обобщенным многочленом наилучшего приближения для функции необходимо и достаточно, чтобы на нашлись по крайней мере точки в которых принимает поочередно значения

Докажем сначала необходимость условий. Пусть является многочленом наилучшего приближения для Докажем, что для него выполнены сформулированные в теореме условия. Предположим обратное, т. е. что таких точек, о которых говорится в теореме, (существование по крайней мере одной такой точки очевидно). Пусть эти точки будут:

Выберем на отрезке точек удовлетворяющих следующим условиям:

2) в точках разность не равна ни ни

3) на каждом из отрезков разность достигает один или несколько раз значений или — но не может достигать и того и другого значения.

Тогда найдется такое положительное значение что на отрезках будут поочередно выполняться неравенства

и, кроме того,

На интервале можно выбрать точку так, что при любом также будет выполнено неравенство

На интервале выберем произвольным образом точки

где максимальное число, для которого

Если то получим последовательность точек

Если же то, приняв за точку получим такую же последовательность точек.

По точкам построим обобщенный многочлен

Коэффициентами при этого многочлена являются миноры порядка матрицы

В силу второго свойства систем Чебышева, использованного при доказательстве теоремы Хаара, по крайней мере один из них отличен от нуля. Следовательно, Наш обобщенный многочлен обращается в нуль в точках и не может обращаться в нуль ни при каком другом значении х. В частности, при

Если мы будем изменять значения сохраняя соотношения

то

будет сохранять постоянный знак. Таким образом, как бы мы ни выбирали значения лишь бы они удовлетворяли неравенствам

определитель

всегда имеет один и тот же знак. Положим

Тогда

для значений Положим теперь При этом

для Таким образом, меняет знак, когда х переходит из интервала в интервал Далее, если положить то получим:

для Итак, снова изменила свой знак при переходе через точку Аналогично показывается, что меняет свой знак при переходе через каждую из точек Рассмотрим теперь многочлен

где выбрано так, чтобы

и на интервале знак совпадал бы со знаком В силу выбора точек и только что доказанного свойства функции знак будет совпадать со знаком при для всех Вследствие этого и того, что мы будем иметь на отрезке

Далее, так как на отрезке имеет место неравенство

а

то при имеет место неравенство

На интервале мы взяли четное число точек

Поэтому знак на полуотрезке будет такой же, как и Следовательно, при и при

не равном и на отрезке будет выполнено последнее неравенство. Рассмотрим еще случай, когда При этом последнее неравенство будет выполнено для всех точек полуоткрытого интервала но в точке будем иметь

Найдем тогда такой обобщенный многочлен который бы в точке не обращался в нуль. Такой многочлен всегда существует, так как образуют систему Чебышева и не могут все одновременно обратиться в нуль (см. доказательство теоремы Хаара). Можно считать, что

так как в противном случае мы умножили бы на —1. При достаточно малом и в последнем случае мы имели бы тогда

Тем самым мы показали, что не является многочленом наилучшего приближения, вопреки нашему предположению. Полученное противоречие доказывает необходимость условий теоремы Чебышева.

Докажем теперь достаточность. Пусть для выполнены условия теоремы, но не является многочленом наилучшего приближения. Пусть, далее, является многочленом наилучшего приближения для на Рассмотрим разность

Первая квадратная скобка справа принимает в некоторых точках

поочередно значения Вторая квадратная скобка по абсолютной величине меньше Поэтому рассматриваемая нами разность будет иметь различные знаки при и при для всех Следовательно, она обращается в нуль по крайней мере один раз в каждом из интервалов Всего таких интервалов . Обобщенный многочлен

должен обращаться в нуль на по крайней мере раз. Это невозможно. Тем самым мы доказали и достаточность условий Чебышева. Теорема доказана полностью. Сделаем теперь несколько замечаний.

1. Пусть некоторый обобщенный многочлен и на существуют такие точек

что разность

принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если — наименьшее по абсолютной величине из этих значений, то

Для доказательства достаточно предположить обратное и рассмотреть разность между многочленом и многочленом наилучшего приближения, как это делалось при доказательстве достаточности условий Чебышева.

Это замечание позволяет дать оценку величины Действительно, если

то

2. При доказательстве теоремы Хаара и обобщенной теоремы Чебышева мы считали, что все функции определены на некотором отрезке Фактически это при доказательствах не использовалось. Если проанализировать доказательства, то легко обнаружить, что теорема Хаара будет справедлива, если в качестве области определения взять произвольное замкнутое ограниченное множество евклидова пространства любого числа измерений. Обобщенная теорема Чебышева будет справедлива, если все функции определены на некотором замкнутом множестве, принадлежащем отрезку содержащем не менее точек.

1
Оглавление
email@scask.ru