3. Теорема Чебышева.

Докажем еще одну теорему, являющуюся обобщением теоремы Чебышева. Будем опять предполагать, что мы рассматриваем линейное нормированное пространство непрерывных на функций с нормой

и его подпространство образованное всевозможными линейными комбинациями

функций с действительными постоянными коэффициентами. Функции принадлежат и образуют систему Чебышева. Для функций обозначим

Тогда теорема Чебышева может быть сформулирована следующим образом:

Для того чтобы функция являлась обобщенным многочленом наилучшего приближения для функции необходимо и достаточно, чтобы на нашлись по крайней мере точки в которых принимает поочередно значения

Докажем сначала необходимость условий. Пусть является многочленом наилучшего приближения для Докажем, что для него выполнены сформулированные в теореме условия. Предположим обратное, т. е. что таких точек, о которых говорится в теореме, (существование по крайней мере одной такой точки очевидно). Пусть эти точки будут:

Выберем на отрезке точек удовлетворяющих следующим условиям:

2) в точках разность не равна ни ни

3) на каждом из отрезков разность достигает один или несколько раз значений или — но не может достигать и того и другого значения.

Тогда найдется такое положительное значение что на отрезках будут поочередно выполняться неравенства

и, кроме того,

На интервале можно выбрать точку так, что при любом также будет выполнено неравенство

На интервале выберем произвольным образом точки

где максимальное число, для которого

Если то получим последовательность точек

Если же то, приняв за точку получим такую же последовательность точек.

По точкам построим обобщенный многочлен

Коэффициентами при этого многочлена являются миноры порядка матрицы

В силу второго свойства систем Чебышева, использованного при доказательстве теоремы Хаара, по крайней мере один из них отличен от нуля. Следовательно, Наш обобщенный многочлен обращается в нуль в точках и не может обращаться в нуль ни при каком другом значении х. В частности, при

Если мы будем изменять значения сохраняя соотношения

то

будет сохранять постоянный знак. Таким образом, как бы мы ни выбирали значения лишь бы они удовлетворяли неравенствам

определитель

всегда имеет один и тот же знак. Положим

Тогда

для значений Положим теперь При этом

для Таким образом, меняет знак, когда х переходит из интервала в интервал Далее, если положить то получим:

для Итак, снова изменила свой знак при переходе через точку Аналогично показывается, что меняет свой знак при переходе через каждую из точек Рассмотрим теперь многочлен

где выбрано так, чтобы

и на интервале знак совпадал бы со знаком В силу выбора точек и только что доказанного свойства функции знак будет совпадать со знаком при для всех Вследствие этого и того, что мы будем иметь на отрезке

Далее, так как на отрезке имеет место неравенство

а

то при имеет место неравенство

На интервале мы взяли четное число точек

Поэтому знак на полуотрезке будет такой же, как и Следовательно, при и при

не равном и на отрезке будет выполнено последнее неравенство. Рассмотрим еще случай, когда При этом последнее неравенство будет выполнено для всех точек полуоткрытого интервала но в точке будем иметь

Найдем тогда такой обобщенный многочлен который бы в точке не обращался в нуль. Такой многочлен всегда существует, так как образуют систему Чебышева и не могут все одновременно обратиться в нуль (см. доказательство теоремы Хаара). Можно считать, что

так как в противном случае мы умножили бы на —1. При достаточно малом и в последнем случае мы имели бы тогда

Тем самым мы показали, что не является многочленом наилучшего приближения, вопреки нашему предположению. Полученное противоречие доказывает необходимость условий теоремы Чебышева.

Докажем теперь достаточность. Пусть для выполнены условия теоремы, но не является многочленом наилучшего приближения. Пусть, далее, является многочленом наилучшего приближения для на Рассмотрим разность

Первая квадратная скобка справа принимает в некоторых точках

поочередно значения Вторая квадратная скобка по абсолютной величине меньше Поэтому рассматриваемая нами разность будет иметь различные знаки при и при для всех Следовательно, она обращается в нуль по крайней мере один раз в каждом из интервалов Всего таких интервалов . Обобщенный многочлен

должен обращаться в нуль на по крайней мере раз. Это невозможно. Тем самым мы доказали и достаточность условий Чебышева. Теорема доказана полностью. Сделаем теперь несколько замечаний.

1. Пусть некоторый обобщенный многочлен и на существуют такие точек

что разность

принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если — наименьшее по абсолютной величине из этих значений, то

Для доказательства достаточно предположить обратное и рассмотреть разность между многочленом и многочленом наилучшего приближения, как это делалось при доказательстве достаточности условий Чебышева.

Это замечание позволяет дать оценку величины Действительно, если

то

2. При доказательстве теоремы Хаара и обобщенной теоремы Чебышева мы считали, что все функции определены на некотором отрезке Фактически это при доказательствах не использовалось. Если проанализировать доказательства, то легко обнаружить, что теорема Хаара будет справедлива, если в качестве области определения взять произвольное замкнутое ограниченное множество евклидова пространства любого числа измерений. Обобщенная теорема Чебышева будет справедлива, если все функции определены на некотором замкнутом множестве, принадлежащем отрезку содержащем не менее точек.