4. Единственность элемента наилучшего приближения.

Вообще говоря, такой элемент будет не один. Приведем сейчас достаточное условие, обеспечивающее единственность элемента наилучшего приближения. Назовем нормированное линейное пространство строго нормированным, если в условии

знак равенства достигается только тогда, когда

Теорема. Если пространство строго нормированно, то элемент наилучшего приближения является единственным. Предположим обратное, т. е. допустим, что имеются два различных элемента наилучшего приближения для

и

Таким образом,

Очевидно, так как иначе элементы оказались бы линейно зависимыми. Далее,

Так как норма, стоящая в левой части, не может быть меньше то

или в силу строгой нормированности пространства

Здесь а должно равняться 1, так как в противном случае представлялся бы в виде линейной комбинации следовательно, равнялось бы нулю. Но при этом

и элементы линейно зависимы или . И тот и другой случай приводят к противоречию с нашими предположениями.