§ 9. Приближения по методу наименьших квадратов алгебраическими многочленами

Функции образуют систему Чебышева на любом отрезке. Поэтому вся теория предыдущего параграфа будет применима. Приведем пример на применение этой теории.

Пример. Для функции тех на отрезке найти среди многочленов степени не выше трех многочлен, дающий наилучшее приближение по методу наименьших квадратов, если используются значения функции в точках

Для отыскания коэффициентов многочлена

имеем систему.

где

т. е.

Отсюда

и

Изложенный здесь метод имеет два существенных недостатка:

1) для отыскания коэффициентов этого многочлена приходится решать систему из уравнений, что при больших затруднительно;

2) если мы выбрали и построили многочлвр наилучшего приближения и оказалось, что точность приближения недостаточна, то, увеличив нам придется заново повторять все вычисления.

1. Система многочленов, ортогональных на множестве равноотстоящих точек.

Мы освободимся от этих недостатков, если найдем систему ортогональных многочленов в смысле того скалярного произведения, которое нами введено. Естественно, что система ортогональных многочленов будет зависеть от расположения узлов и от весов Мы ограничимся простейшим случаем, когда веса а узлы равноотстоящие. Пусть нам дано узлов Если предварительно выполнить замену то точки перейдут соответственно Будем считать, что эта замена уже выполнена, и вместо х снова писать х.

Будем теперь строить многочлены последовательно возрастающих степеней многочлен в точности степени обладающие свойством

Так же как и в том случае, когда рассматривались значения многочленов во всех точках отрезка можно доказать, что наши многочлены определятся однозначно, с точностью до постоянного множителя. Чтобы определить их совсем однозначно, потребуем, чтобы при они равнялись единице.

Прежде чем переходить к построению многочленов рассмотрим некоторые свойства факториальных многочленов. Факториальным многочленом порядка называют многочлен степени с коэффициентом при старшей степени, равным единице, обращающийся в нуль в точках т. е.

Очевидно, что любой многочлен степени можно представить как линейную комбинацию факториальных многочленов степеней, не превосходящих

Имеют место следующие тождества:

Первое из них легко проверяется:

Для доказательства второго выпишем последовательность первых тождеств, взяв равным сдвигая каждый раз аргумент на единицу:

Складывая эти тождества почленно, получим:

Отсюда и следует утверждение.

Искомый многочлен будем искать в виде

и потребуем его ортогональности к

при

Имеем:

Отсюда, используя второе тождество, получим:

Таким образом, для отыскания коэффициентов получаем систему из уравнений:

или, полагая систему

Для решения этой системы применим следующий прием. Рассмотрим функцию

Здесь есть многочлен степени не выше В силу наших уравнений обращается в нуль в точках Следовательно,

Для отыскания постоянной С умножим последнее равенство на и положим Получим:

т. е.

Таким образом,

Освобождаясь от знаменателей и полагая получим:

или

а

Подставляя эти значения в равенство (12), получим:

Так как произвольный многочлен степени можно представить как линейную комбинацию при то будет ортогонален к любому многочлену степени В частности,

Вычислим теперь

Для этого представим в виде

Тогда

или используя равенство (12) при получим:

Наконец, учитывая, что найдем:

Ортогональные многочлены связаны следующим рекуррентным соотношением:

В самом деле, многочлен можно записать в следующем виде:

Для отыскания коэффициентов умиожим обе части равенства на заменим х на и просуммируем по от до Тогда будем иметь слева:

что равно нулю, так как многочлен имеет степень меньше а следовательно ортогонален Справа, в силу ортогональности многочленов, останется только один член:

Таким образом,

т. е. и мы будем иметь:

Для отыскания коэффициентов нужно составить три уравнения. Эти уравнения мы получим, приравнивая коэффициенты при в обеих частях нашего равенства, а также полагая в обеих частях Заметим, что

а коэффициент при старшей степени равен

Из сравнения коэффициентов при получим:

или

Далее, при получаем:

а при

или, учитывая, что вместо последнего уравнения получаем, уравнение

Подставляя найденное значение для получим следующие уравнения:

откуда

или

что и требовалось доказать. Так как

то из рекуррентного соотношения при имеем:

или

Полагая получим:

или

Имея ортогональные многочлены при всех легко построить в многочлен, дающий наилучшее приближение к элементу в смысле метрики этого пространства. Этот многочлен ищем в виде

В соответствии с общей теорией для отыскания коэффициентов получаем следующую систему:

Отсюда

Величина наилучшего приближения находится из равенства

Пример. Построение многочлена наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов для примера предыдущего параграфа будет выглядеть следующим образом. Учитывая, что

для коэффициентов многочлена

имеем:

Следовательно,

Делая замену получим многочлен наилучшего приближения к функции на отрезке в совокупности многочленов степени не выше третьей:

Для практического использования многочленов, ортогональных на множестве точек составлены таблицы этих многочленов (см., например, Милн, Численный анализ).