§ 15. Обратное интерполирование
Часто на практике возникает задача об отыскании по заданному значению функции значения аргумента. Эта задача решается методами обратного интерполирования.
Если заданная функция монотонна, то обратное интерполирование проще всего осуществить путем замены функции аргументом и обратно и последующего интерполирования. Если заданная функция не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя. Тогда, не меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интерполяционную формулу; используя известные значения аргумента и считая функцию известной, решаем полученное уравнение относительно аргумента.
Оценка остаточного члена при использовании первого приема будет такова же, как и при прямом интерполировании, только производные от прямой функции заменятся производными от обратной функции. Оценим ошибку второго метода. Если нам задана функция 
интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам 
то
Предположим, что нам надо найти значение х, при котором 
(
задано). Будем решать уравнение 
Получим некоторое значение х. Подставляя в предыдущее равенство, получим:
Применяя формулу Лагранжа (конечных приращений), будем иметь:
где 
находится между 
Если 
интервал, содержащий 
то из последнего выражения следует:
При этом, конечно, предполагается, что уравнение 
мы решили точно.
Рассмотрим примеры на обратное интериолирование тем и другим способом.
Пример. По заданным значениям функции:
(см. скан)
найти значение х, для которого 
Единственной информацией о функции является данная таблица. Судя по таблице, функция монотонна. Поэтому применим первый прием. Получим:
Полагая здесь 
будем иметь:
Пример. По заданным значениям функции:
(см. скан)
найти значение х, при котором у будет равен —2.
В этом случае функция не монотонна. Поэтому применяем второй прием. Находим:
Полагая 
получим уравнение для определения 
Отсюда 
Если число узлов велико, то применение второго приема приведет к решению алгебраического уравнения высокой степени. Способами решения таких уравнений мы займемся позже. Здесь же
остановимся только на итерационном способе. Будем рассматривать только случай равноотстоящих значений аргумента. Используем хотя бы интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед:
При обратном интерполировании левая часть равенства известна и требуется определить 
Для этого разрешим это равенство относительно 
стоящего при разности первого порядка. Получим:
Полученное уравнение относительно 
будем решать методом последовательных приближений. За начальное приближение примем
Подставляя 
в правую часть, получим:
Затем таким же способом из 
получим 
а затем 
В значительном числе случаев этот процесс сходится и дает в пределе точное решение уравнения. Практически последовательные приближения заканчивают, когда два соседних приближения не отличаются друг от друга с той точностью, которая нам нужна. Нет необходимости каждый раз использовать все члены правой части. Обычно чем больше сделано приближений, тем больше используют членов.
Обратное интерполирование может быть применено для решения уравнений. Для этого составляют таблицу значений функции и находят, при каком значении х функция обращается в нуль. Рассмотрим пример как раз такого рода.
Пример. Найти корень уравнения 
заключенный между 
и 1.
Составляем таблицу значений функции 
с шагом 0,1:
(см. скан)
Перемена знака функции при переходе от 0,6 к 0,7 показывает, что 
имеет корень в этом интервале. Формула Ньютона в этом случае примет вид:
Отсюда
или
Последовательные приближения дают
Значения 
совпадают. Поэтому в качестве х можно взять
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
