2. Первый способ приближенного построения многочлена наилучшего приближения.

Пусть для функции непрерывной на отрезке требуется построить многочлен, близкий

к многочлену наилучшего приближения Для построения такого многочлена возьмем на отрезке точек

Обозначим это множество через Методом, описанным ранее, строим многочлен наилучшего приближения к на Этот многочлен обозначим через Докажем, что при последовательность многочленов равномерно на сходится к

Обозначим через колебание функции на Без ограничения общности можно считать, что

Очевидно,

Пусть достигает на максимума в точке х. Среди точек найдется точка, удаленная от х не больше чем на Усть точка Тогда

где лежит между

Воспользуемся неравенством Маркова, утверждающим, что если многочлен степени то при

Используя это неравенство, получим:

Из (25), (26) и (28) имеем:

Таким образом,

Если

Пусть теперь произвольная фиксированная точка отрезка а ближайшая к ней точка из рассматриваемой системы

Снова, применяя неравенство Маркова (27) и оценку (30) для имеем:

Далее, на найдется точка х, в которой имеет место равенство

Пусть -ближайшая к ней из рассматриваемых точек (24). Тогда

где через обозначен модуль непрерывности функции на отрезке Обозначая сумму последних двух членов в правой части неравенства (32) через

будем иметь:

Очевидно, что при следовательно, применима теорема п. 5, из которой следует, что равномерно сходится к

Этим доказана сходимость нашего процесса приближенного построения многочленов наилучшего приближения.

Для оценки близости к многочлену наилучшего приближения, т. е. величины

можно пользоваться таким приемом. Находим

где - множество точек Тогда

Пример. Для функции найти многочлен наилучшего приближения на отрезке

Рассмотрим сначала множество из четырех точек:

и найдем многочлен наилучшего приближения к на множестве

Отсюда

Следовательно,

Далее, составляем систему уравнений для определения значений многочлена

Отсюда

Следовательно,

Таким образом,

Приближение недостаточно хорошее. Рассматриваем теперь множество из пяти точек:

Всего возможных комбинаций из четырех точек, расположенных в порядке возрастания, будет 5. Для каждой из них нужно вычислить величину Вычисления сведем в таблицу:

(см. скан)

достигается для первой и последней комбинаций. Возьмем первую комбинацию. Система для отыскания значений в точках этой комбинации имеет вид:

Отсюда

и

Для контроля вычислим

Таким образом,

Следовательно, многочлен совпадает с многочленом наилучшего приближения функции для отрезка т. е.