ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В данной главе будут рассмотрены численные методы решения простейших, но очень распространенных задач математического анализа дифференцирования и интегрирования функций.

Дифференцирование и интегрирование являются частными случаями функций, определенных на функциональных пространствах, о которых говорилось во Введении. При этом каждой функции некоторого функционального пространства ставится в соответствие либо снова функция (при отыскании производной или неопределенного интеграла), либо некоторое число (если ишется производная в определенной точке или определенный интеграл). Например, понимая под совокупность всех функций, имеющих на отрезке непрерывную производную, можно рассматривать дифференцирование как функцию определенную на с помощью которой элементу ставится в соответствие функция где

Во многих случаях значения этих функций не могут быть найдены точно использованием методов дифференциального и интегрального исчисления. Тогда прибегают к приближенному решению этих задач, используя общий метод, описанный во Введении. В этой главе мы будем рассматривать методы численного дифференцирования и интегрирования, основанные на замене пространства другим пространством т. е. будем заменять задачу задачей

В основу замены на положим уже рассмотренный метод приближения — интерполирование.

§ 1. Задача численного дифференцирования

К численному дифференцированию приходится прибегать в том случае, когда функция для которой нужно найти производную, задана таблично или же функциональная зависимость имеет очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы

дифференциального исчисления просто неприменимы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности.

В этих случаях вместо функции рассматривают интерполирующую функцию и считают производную от приближенно равной производной от Естественно, что при этом производная от будет найдена с некоторой погрешностью. Функцию можно записать в таком виде:

где интерполирующая функция, остаточный член интерполяционной формулы. Дифференцируя это тождество раз (в предположении, что имеют производные порядка), получим:

Так как за приближенное значение принимается то погрешность есть При замене интерполирующей функцией предполагается, что остаточный член мал, но из этого совсем не следует, что мало ибо производные от малой функции могут быть весьма велики. И на самом деле, практика показывает, что при таком способе вычисления производных получается сравнительно большая погрешность, особенно при вычислении производных высших порядков.

Рассмотрим формулы дифференцирования в общем случае, когда интерполирующая функция строится как линейная комбинация базисных функций образующих систему Чебышева на рассматриваемом отрезке

Пользуясь результатами предыдущей главы (см. (2) § 4 гл. 2), запишем функцию в виде

Здесь интерполяционный многочлен, линейная комбинация базисных функций удовлетворяющая условиям

узлы интерполирования,

Дифференцируем обе части равенства. Получим:

Но

Таким образом,

При численном дифференцировании за приближенное значение производной берут Тогда второй член справа будет давать остаточный член. Дифференцируя последнее равенство еще раз, найдем:

И в этом случае

Поэтому

Опять первый член справа дает приближенное значение производной, а второй — остаточный член.

Эти рассуждения можно провести для производных любого порядка, меньшего или равного

Из полученных выражений остаточных членов видно, что формулы численного дифференцирования дают точное значение для производных, если является произвольной линейной комбинацией базисных функций

В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование с помощью алгебраических многочленов.