2. Многочлены Лежандра.
Многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, когда 
При этом 
Для них имеет место формула Родрига
Они обладают свойством
Из формулы Родрига видно, что многочлены Лежандра четной степени содержат лишь четные степени переменного х, а многочлены нечетной степени содержат лишь нечетные степени х.
Рекуррентная формула для многочленов Лежандра примет вид
Преобразовывая формулу Родрига по формуле Лейбница для дифференцирования произведения, получим:
Отсюда следует
Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра примет вид
Докажем, что для многочленов Лежандра имеет место следующая формула Лапласа:
Действительно, при 
к 1 получим:
Проверим, что для 
определяемого равенством (12), справедлива рекуррентная формула (9), которая имеет место для многочленов Лежандра. Обозначим
и запишем:
в виде
Здесь
Обозначая
получим:
Но
Таким образом,
Раз 
совпадают с нулевым и первым многочленами Лежандра и так как выполнена рекуррентная формула, то будет совпадение при всех 
и формула Лапласа доказана.
С помощью формулы Лапласа нетрудно произвести оценки величины многочленов Лежандра на отрезке 
Прежде всего заметим, что
Отсюда
Для внутренних точек отрезка 
имеет место более точная оценка:
В самом деле,
Таким образом,
Сделав во втором интеграле замену 
на и — 0, получим:
Так как при 
имеет место неравенство — 
а при неотрицательных а неравенство 
Полагая здесь 
получим:
что и требовалось доказать.
С помощью многочленов Лежандра легко для заданной функции 
построить в 
многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения на отрезке 
Если такой многочлен искать в виде
то коэффициенты 
найдутся по формуле
а наилучшее приближение
Пример. Найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции 
на отрезке 
в совокупности многочленов степени не выше третьей и вычислить величину наилучшего приближения.
Сделаем линейную замену переменного, переводящую отрезок 
в отрезок 
Для этого положим 
Тогда 
Отсюда
Многочлен наилучшего приближения к функции 
на отрезке 
будет:
Далее,
Для сравнения приведем таблицу значений 
в некоторых точках отрезка и величину их отклонений:
(см. скан)
Многочлены Лежандра находят широкое применение и в ряде аругих вопросов; в частности, они участвуют в образовании сферических функций, в которых решаются ряд задач математической физики.
