§ 11. Вычисление несобственных интегралов

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, связанными с вычислением несобственных интегралов. Это могут быть интегралы с бесконечными пределами или интегралы с конечными пределами, но подынтегральной функцией, обращающейся в бесконечность на отрезке интегрирования.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами всегда можно преобразовать в несобственный интеграл или даже собственный с конечными пределами. Для этого достаточно произвести подходящую замену переменного под знаком интеграла или взять интеграл в конечных, но достаточно больших пределах так, что отбрасываемая часть интеграла значительно меньше, чем заданная нам точность вычисления интеграла. В последнем случае часто пользуются асимптотическими выражениями подынтегральных функций для оценки отбрасываемой части интеграла иди для учета ее вклада в интеграл.

Мы не будем подробнее останавливаться на этом вопросе, так как во многом успех при вычислении несобственного интеграла с бесконечными пределами зависит от искусства вычислителя.

1. Метод выделения особенностей.

При вычислении несобственных интегралов с конечными пределами интегрирования удобнее всего использовать метод выделения особенностей. Существует два метода выделения особенностей: мультипликативный и аддитивный.

Суть мультипликативного способа выделения особенностей состоит в следующем. Пусть нам требуется вычислить интеграл

где функция обращается в бесконечность в одной или нескольких точках отрезка Мы представляем эту функцию в виде

где -ограниченная функция на обладающая там достаточным количеством непрерывных производных, а на Рассматривают как весовую функцию и строят соответствующую формулу численного интегрирования теми приемами, которые указаны выше. За приближенное значение интеграла (1) принимают результат применения полученной формулы численного интегрирования к функции

Пусть, например, нам нужно вычислить интеграл

Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точках Представим ее в виде

и будем рассматривать функцию

как весовую. Тогда будет применима формула численного интегрирования Эрмита:

При получим:

Значение интеграла с шестью верными знаками после запятой равно

Аддитивный способ выделения особенностей состоит в следующем. Подынтегральную функцию представляют в виде

где не имеет особенностей и обладает достаточным числом непрерывных производных, а интеграл от может быть найден точными методами интегрального исчисления. Возьмем в качестве примера следующий интеграл:

Подынтегральную функцию представим в виде

Тогда

Первый интеграл легко вычисляется:

Подынтегральная функция в не имеет особенностей на отрезке интегрирования. Вычислим по формуле Симпсона, взяв Получим:

Таким образом,

Значение интеграла с шестью верными знаками после запятой равно

Л. В. Канторович, предложивший этот способ, указал также и на некоторые приемы представления подынтегральной функции в виде (9).

Пусть имеет вид

где может быть представлена на отрезке формулой Тейлора по степеням с остаточным членом, зависящим от производной порядка Тогда можно записать в виде

Первая квадратная скобка правой части является степенной функцией и поэтому интегрируется без труда. Вторая квадратная скобка обращается в нуль при вместе со всеми производными до порядка включительно. Следовательно, ее произведение с не будет иметь никаких особенностей при Более того, при это произведение будет обладать непрерывными производными до порядка включительно. Поэтому можно ожидать, что применение формул численного интегрирования к нему даст хорошие результаты.

Указанный прием можно применить и в том случае, когда подынтегральная функция имеет вид

где натуральное число и а, с и таковы же, как и ранее. В этом случае получим разложение

Опять интеграл от первого слагаемого правой части выражается в конечном виде через элементарные функции, если применить Интегрирование по частям. Второе слагаемое правой части будет гладкой функцией.

Прием можно обобщить, взяв несколько особенностей на промежутке интегрирования. Пусть, например,

где обладает на непрерывными производными достаточно высокого порядка. При этом последовательно исключаем особеннрсти в каждой из точек Сначала, как и при наличии одной особенности, представляем в виде

где достаточно гладкая функция в точке Затем таким же образом исключаем особенности в точке в точке точке . В конце концов, дело сведется к вычислению суммы интегралов

где уже не имеет особенностей на

И в этом случае можно ввести дополнительные логарифмические множители.

Рассмотрим еще один случай. Пусть

где гладкая функция, принимающая в точке значение, при котором имеет особенность. Представим в виде

Тогда

Предполагаем, что можно проинтегрировать в конечном виде. Интегрирование второго слагаемого можно осуществить по формулам численного интегрирования, так как фигурная скобка не имеет особенности при Приведенный выше пример (10) принадлежит как раз к такому типу.

Данные нами методы выделения особенностей можно применять не только для вычисления несобственных интегралов, том случае, когда подынтегральная функция ограничена, но не обладает достаточно большим числом ограниченных производных. При этом, как показывают выражения остаточных членов, формулы численного

интегрирования дадут, вообще говоря, большую погрешность. Метод выделения особенностей позволит иногда представить подынтегральное выражение в виде суммы функции, интегрируемой в конечном виде, и достаточно гладкой функции.

2. Специальные приемы.

Если известен характер поведения подынтегральной функции вблизи особенности, то можно построить специальные формулы, учитывающие особенность и позволяющие получить значение интеграла на некотором небольшом отрезке, содержащем особенность. Интеграл по остальной части отрезка интегрирования будет вычисляться по обычным формулам численного интегрирования. Пусть, например, левый конец отрезка интегрирования есть и функция вблизи него может быть представлена в виде

Подберем коэффициенты так, чтобы имело место

при любых Из (28) следует

Отсюда

или

Итак, в нашем случае

Аналогично находим:

Во всех этих случаях означает подынтегральную функцию. Точно таким же способом можно получить формулы для вычисления интегралов вблизи особенностей другого характера.

В качестве примера используем формулу (32) для вычисления интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность при как раз такого характера, который учитывается этой формулой. Возьмем и представим интеграл (38) в виде

Первый интеграл вычислим по формуле (32). Это даст

Второй интеграл вычислим по формуле Симпсона, взяв Получим:

Таким образом,

Точное значение интеграла таково:

Приемы и методы вычисления несобственных интегралов, приведенные в этом параграфе, не могут исчерпать всего многообразия случаев, которые могут встретиться на практике. Да и невозможно в одной книге, какая объемистая бы она не была, дать рецепты на все случаи жизни. Однако высказанные здесь идеи могут помочь читателю найти подход к решению конкретной задачи, с которой встретится.