§ 4. Полная погрешность

Мы уже говорили о том, что при решении математической задачи мы получаем приближенные результаты в силу различных причин: заданная нам задача заменяется другой, и в силу этого мы получаем ошибку — погрешность метода-, числовые данные, с которыми производятся вычисления, неточны, и в силу этого измененная задача не может быть решена точно и возникает новая ошибка — неустранимая погрешность, и наконец, приближенные исходные данные будут подвергаться не тем операциям, которые требуются для измененной задачи, а псевдооперациям, так как мы вынуждены производить округления, и возникает третья ошибка — погрешность округления. Рассмотрим теперь, как будет складываться полная погрешность из отдельных погрешностей.

Пусть нам требуется решить задачу

Для того чтобы эта задача могла быть численно решена, мы приводим ее к виду

Далее, благодаря неточности исходных данных и процессам округления мы фактически решим задачу

Пусть для определенности, нам нужно по х найти у. Тогда

Первая из скобок справа и даст ошибку метода, вторая скобка определит влияние неустранимой погрешности и погрешности округления. Мы ее назовем вычислительной погрешностью. Таким образом, полная погрешность является суммой погрешности метода и. вычислительной погрешности.

При анализе погрешности метода мы должны учитывать способ замены на и замены А на А. При анализе вычислительной погрешности мы должны глубже учесть структуру функций Действительно, как это мы видели в предыдущем параграфе, величина погрешности округления существенно зависит от последовательности операций, производимых над числами. Поэтому мы будем рассматривать вычислительную погрешность лишь в том случае, когда над двумя приближенными числами производится одна операция. Пусть х и у — те числа, над которыми должна быть произведена некоторая операция Фактически мы будем производить операцию не над ними, а над некоторыми приближениями к ним х и у. Кроме того, в действительности вследствие ошибок округления мы произведем не операцию а другую операцию Таким образом, вместо мы получим Но

Первая скобка в правой части в этом случае даст неустранимую погрешность одного шага программы, а вторая — погрешность округления. Таким образом, на одном шаге вычислительного процесса вычислительная погрешность будет складываться из неустранимой погрешности, и погрешности округления.

При составлении программы желательно процесс вести так, чтобы одни погрешности компенсировали другие. Правда, часто это связано с большими затратами труда и времени на составление программы. Однако некоторые программы используются очень часто и следует хотя бы один раз произвести для них полный анализ погрешностей.