§ 10. Некоторые замечания по поводу формул численного интегрирования

Мы получили ряд формул численного интегрирования. Возникает вопрос: какую формулу нужно применять в том или другом случае, какие формулы более выгодны и какие менее выгодны. На этот

вопрос нельзя ответить однозначно. Все зависит от того, каким способом задана подынтегральная функция, каковы у нас вычислительные средства, какова требуемая точность и т. п. В такой общей постановке вопроса ответить можно лишь так: та формула лучше, которая в данном случае дает ответ с нужной нам точностью при наименьшей затрате труда и времени.

Если вычисления ведутся вручную или с помощью малых вычислительных машин, то имеют значение формулы, содержащие разности. Меньшее значение имеют формулы Гаусса и Чебышева, так как вычисления с многозначными коэффициентами и абсциссами в этом случае затруднительны. Из формул, не содержащих разности, чаще всего применяется формула Симпсона.

При вычислениях на автоматических счетных машинах наибольшее значение имеют безразностные формулы. Особенно выгодны наиболее точные формулы Гаусса, так как они требуют наименьшего числа операций для получения интеграла с нужной точностью.

Здесь необходимо сделать некоторые замечания относительно более точных и менее точных формул. Эти термины были введены нами при выводе формул численного интегрирования и в них вкладывался определенный смысл. Нужно ясно себе представлять, что более точная в этом смысле формула не всегда дает практически более точный результат. В самом деле, возьмем наиболее точную из формул — формулу Гаусса. Она имеет вид

где коэффициенты и абсциссы зафиксированы и зависят только от Может случиться, что подынтегральная функция обращается в нуль в каждой из точек абсолютная величина интеграла от нее велика. Тогда разность между точным значением интеграла и приближенным, полученным по формуле Гаусса, будет также очень велика. В связи с этим, нужно сказать, что при выборе той или иной формулы численного интегрирования бывает целесообразно изучить поведение подынтегральной функции и сравнить его с поведением интерполяционного многочлена, интегрированием которого получается формула численного интегрирования. Иногда возникает необходимость разбивать отрезок интегрирования на отдельные участки так, чтобы лучше описать поведение функции интерполяционными многочленами.