§ 9. Сходимость интерполяционного процесса

При практическом использовании интерполирования не всегда удается произвести оценку остаточных членов. Высшие производные, входящие в эти остаточные члены, не всегда доступны. Поэтому уверенность в том, что, выбрав достаточно большое количество узлов, мы достаточно хорошо приблизимся к интерполируемой функции, была бы очень полезна в практическом интерполировании. В связи с этим возникает задача о сходимости интерполяционного процесса.

Пусть нам задана треугольная матрица

все элементы которой принадлежат отрезку Для некоторой заданной на отрезке функции строится последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа причем для построения в качестве узлов интерполирования используются все элементы строки нашей матрицы. Интерполяционный процесс называется сходящимся, если

Этот процесс равномерно сходится, если сходимость последнего выражения равномерная.

На первый взгляд кажется, что если элементы матрицы с повышением номера строки все плотнее и плотнее заполняют отрезок так что в любой его части, начиная с некоторого находится по крайней мере один узел, то должна быть равномерная сходимость хотя бы для непрерывных функций. Однако это оказалось не так. Как было показано Фабером, для любой заданной матрицы узлов вида (1) найдется такая непрерывная функция что построенные для нее интерполяционные многочлены Лагранжа по этим узлам не сходятся равномерно на Более того, как было показано Бернштейном, последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа построенных для функции на отрезке по равноотстоящим узлам не

стремится с возрастанием ни в одной точке, отличной от —1, 0, 1.

Вопросу сходимости интерполяционного процесса посвящена обширная литература. Для изучения этого вопроса привлекаются самые современные и тонкие методы математического анализа. Мы не имеем здесь возможности даже вкратце коснуться всех полученных в этом направлении результатов, не говоря уже о проведении доказательств. Дадим здесь лишь одну теорему, относящуюся к целым функциям. Дадим сначала определение целой функции.

Функция называется целой, если ее можно представить в виде степенного ряда

сходящегося при всех значениях х.

Теорема. Пусть целая функция. Тогда последовательность построенных для нее интерполяционных многочленов по любой треугольной матрице указанного выше вида с элементами, принадлежащими отрезку равномерно на отрезке сходится к

Заметим, что на основании известных теорем анализа функция имеет производные любого порядка. Следовательно, мы можем воспользоваться полученной ранее оценкой отклонения от своего интерполяционного многочлена:

Здесь

Но очевидно, что

Итак,

Мы покажем, что правая часть этого неравенства стремится к ну но при стремящемся к бесконечности. Производная функции может быть записана в виде

Отсюда

тем более,

Из неравенства

следует

Таким образом,

Умножим обе части последнего неравенства на где произвольное, но фиксированное положительное число. Тогда получим:

Обозначим через наибольшее из двух чисел

Тогда

Так как последнее равенство имеет место при любом значении то

Ряд сходится. Следовательно, и тем более

стремится к нулю при Далее,

Из разложения

следует, что

Поэтому

Принимая , из неравенства (6) получим нужное предельное соотношение

Требование, чтобы была целой функцией, является существенным в условиях теоремы, что показывает приведенный ниже пример.

Рассмотрим на отрезке функцию

Эта функция непрерывна вместе со всеми своими производными на всей числовой прямой. Если выбирать узлы интерполирования только на отрезке то и не стремится к ни при каком положительном значении х.