§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов

1. Многочлены Якоби.

Так называют многочлены вида

Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если воспользоваться формулой Лейбница для производной от произведения двух функций. Покажем, что многочлены Якоби ортогональны на отрезке с весом

Для этого рассмотрим интеграл

Будем предполагать, что Для сокращения записей обозначим

Очевидно, обращаются в нуль при для всех Выполним от раз интегрирование по частям в интеграле

Получим:

Если то, интегрируя по частям, еще один раз получим:

Так как является многочленом степени от, При будем иметь:

Если обозначить старший коэффициент через то

Вычислим интеграл, стоящий в правой части:

Для этого произведем замену переменных, положив При этом

Подсчитаем теперь Полагаем Тогда

Отсюда

Поэтому

Таким образом,

Теперь мы можем подсчитать и норму Собирая нужные нам выражения, находим:

Найдем теперь коэффициенты рекуррентной формулы для многочленов Якоби. Мы не будем вычислять выписанные ранее интегралы, определяющие эти коэффициенты, а найдем их другим способом. Рекуррентную формулу (20) § 4 запишем в виде

Для определения приравняем коэффициенты при старших степенях х в правой и левой частях равенства. В левой части этот коэффициент будет равен старшему коэффициенту т. е.

В правой части он будет равен старшему коэффициенту умноженному на т. е.

Отсюда находим:

Для отыскания сравним коэффициенты при левой и правой частей. При этом придется использовать выражения для вторых по старшинству коэффициентов многочлена Якоби. Такие выражения нами также были найдены. Применяя те же обозначения, что и ранее, получим:

Отсюда

Подставляя сюда известные выражения для и производя несложные алгебраические преобразования, найдем:

Перепишем нашу формулу в виде

Таким образом, введенное в предыдущем параграфе, имеет вид

Коэффициент получится отсюда простой заменой на Следовательно,

Отсюда

Итак, формула (4) после освобождения от знаменателей примет

Весовая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Следовательно, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению

Для определения приравняем нулю коэффициент при в левой части. Получим:

Отсюда

Таким образом, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению