Главная > Методы вычислений, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Погрешности округления

В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, как погрешности округления влияют на абсолютную погрешность. В этом параграфе мы коснемся некоторых вопросов, связанных с округлениями, производимыми внутри быстродействующей вычислительной машины. Эти вопросы в настоящее время разработаны еще очень

слабо. Поэтому мы ограничимся лишь самыми предварительными соображениями.

Влияние округлений внутри машины на результат вычислений в различных машинах будет различное. Поэтому мы должны условиться, с какой машиной будем иметь дело. Для упрощения последующих рассуждений возьмем самый простой образец автоматической машины. Будем предполагать, что у нас имеется машина с фиксированной запятой, в которой все числа удовлетворяют условию Пусть машина имеет запоминающее устройство, в котором могут храниться числа, имеющие разрядов. Предположим, что машина может производить операции сложения, вычитания и умножения, результаты которых помещаются в специальном накопителе, имеющем разрядов. Если в этом накопителе перед началом выполнения очередной операции уже имелось какое-то число, то результат операции либо прибавляется к числу, имеющемуся в накопителе, либо вычитается из него. Пусть наша машина может производить и операцию деления, причем она помещает первые разрядов величины в специальный счетчик. Последнее наше предположение будет состоять в том, что наша машина может округлять числа в накопителе путем прибавления к ним и отбрасывания последних разрядов.

Для того чтобы можно было произвести на нашей машине действия сложения и вычитания, нужно только потребовать, чтобы

Округлять при этом не придется, и следовательно, ошибок округления не возникает.

Если нам нужно перемножить два каких-то числа, находящихся в каких-то ячейках запоминающего устройства, то модуль результата всегда будет меньше 1, а сам результат не может иметь более разрядов. Таким образом, и в этом случае округлений не потребуется. Но если этот результат придется выводить в какую-то ячейку запоминающего устройства или выводить из машины, то придется сделать округление. При этом мы уже не получим точного произведения. Результат такой операции будем обозначать отличая его тем самым от точного произведения и будем называть псевдопроизведением. Итак,

где введено для упрощения последующих записей.

Точно так же при делении х на у мы будем получать не точное частное а псевдочастное причем

Пусть теперь нам нужно образовать сумму произведений. При этом мы можем сначала получить в специальном накопителе точную сумму произведений и лишь затем произвести округление. Такую псевдооперацию будем обозначать . Таким образом,

Интересно отметить, что не все свойства обычных арифметических операций сохранятся для псевдоопераций. Так, например, имеет место с дистрибутивным законом. Выражение может отличаться от на от на так как в первом случае производится одно псевдоумножение, а во втором два. Таким образом,

Но числа, разность которых стоит под знаком модуля, могут отличаться друг от друга лишь на величину, кратную (кратную единице последнего разряда), и следовательно,

Мы получили, что разность величин, стоящих под знаком модуля, не может превышать единицы последнего разряда. Что такая разность действительно может возникнуть, подтверждается простым примером. Предположим, что и нам нужно найти

При

а

Мы как раз получили разницу в единицу последнего знака.

Порядок, в котором производятся операции умножения и деления, также будет иметь значение. Пусть нам требуется найти величину При этом

и следовательно,

Аналогично получим.

Отсюда

Проводя те же рассуждения, что и в предыдущем случае, найдем:

И здесь нетрудно привести пример, когда такая разность достигается. Пусть и нам нужно найти произведение При этом

и

В то же время

и

Рассмотрим еще один пример. Пусть нам требуется вычислить выражение

Будем предполагать, что х, положительны и все операции возможно произвести на нашей машине. При вычислении этого выражения в различной последовательности получим разные результаты. Вычислим сначала у X и затем найдем При этом

Второй член правой части оценивается без труда:

Оценим первый член, предполагая, что мало, т. е. близко к Для того чтобы было возможно произвести деление, придется потребовать, чтобы х было близко к Так как

то может быть близким к или В первом случае оцениваемый член будет близок к

во втором — к

Точное частное при будет 2/6 и погрешность составляет около 25%.

Так как для некоторых значений х, у, z мы получили неудовлетворительный результат, то возьмем другую последовательность операций. Разделим сначала х на у и результат поделим на Оценим

Опять следует рассмотреть только первый член. Результат будет зависеть от того, что больше: у или z. Лучший результат получится при Это мы будем предполагать. Так как

(иначе деление невозможно было бы выполнить на машине), то

Можно считать, что следовательно,

Отсюда

Этот результат лучше, чем предыдущий. Если немало, то первый способ вычислений может оказаться лучше второго.

Приведенные здесь рассуждения относятся к конкретной машине, данные о которой приведены в начале параграфа, и являются примерными. До тех пор, пока не выработается стандарт в конструкции автоматических машин, необходимо производить аналогичный анализ для каждой машины в отдельности. Чтобы при этом не затрачивать чересчур много времени при разработке каждой частной программы, целесообразно провести его заранее для типичных вычислительных процессов.

1
Оглавление
email@scask.ru