4. Свойства корней ортогональных многочленов.

Покажем, что имеет на отрезке ровно различных нулей. Предположим обратное. Тогда можно представить в виде

где через обозначены все корни нечетной кратности многочлена расположенные на При этом не меняет знака на Интеграл

должен обращаться в нуль, так как степень равна . С другой стороны, этот интеграл можно записать в виде

Так как подынтегральное выражение не меняет знака, то интеграл в нуль обращаться не может. Получили противоречие. Таким образом, Утверждение доказано.

Докажем, что если нули нули то Прежде всего заметим, что два последовательных многочлена ортогональной системы не могут одновременно обращаться в нуль. Действительно, если обращаются в нуль в некоторой точке то в силу рекуррентной формулы Но тогда в силу той же рекуррентной формулы и Продолжая эти рассуждения, мы придем к выводу, что Но и это приводит к противоречию.

Если условиться брать нормированными и с положительными коэффициентами при старших членах, то . В самом деле,

где и интеграл — положительные величины.

При этом, если в некоторой точке то имеют различные знаки. Действительно, применяя рекуррентную формулу (25), нолучим:

а это может быть при положительных только в том случае, когда имеют различные знаки.

Разделение нулей тривиально. Пусть нули также разделены:

Тогда в силу того, что будем иметь:

и, следовательно,