§ 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов

В § 8 мы рассмотрели общий случай приближения табличной функции по методу наименьших квадратов с помощью функций некоторой системы Чебышева. Пусть теперь узлы расположены на отрезке

и в качестве системы Чебышева возьмем тригонометрические функции:

Будем предполагать, что В этом случае согласно общей теории будет однозначно определяться тригонометрический многочлен

наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов для произвольной функции, заданной в точках х Коэффициенты этого тригонометрического многочлена будут удовлетворять системе уравнений

Решив эту систему, мы сумеем найти приближающий многочлен.

Как мы знаем, система упростится, если функции системы Чебышева ортогональны в смысле той метрики, которая нами вводится при изучении табличных функций. Для тригонометрических многочленов оказывается, что не нужно производить никакой ортогонализации, если и узлы равноотстоящие. Пусть

Тогда справедливы следующие равенства:

если не являются кратными

Таким образом, в этом случае сами функции тригонометрической системы ортогональны.

Чтобы доказать написанные нами равенства, рассмотрим

при

Отделяя здесь действительную и мнимую части, получим первое равенство. Далее,

Суммы, стоящие в правых частях, равны нулю, если не являются кратными Аналогично

при всех Наконец,

если не кратно Если же кратно то

В силу полученных нами равенств система для определения коэффициентов упростится и примет вид

или

Последние формулы носят название формул Бесселя. Заметим, что формулы Бесселя можно получить из формул для коэффициентов Фурье функции

если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя формулу трапеций, полагая

Укажем также на связь коэффициентов, полученных по формулам Бесселя, и коэффициентов ряда Фурье функции если эта функций разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье:

Учитывая наши равенства и беря будем иметь:

(см. скан)

Таким образом,

Если коэффициенты быстро убывают, то основное значение имеют первые члены этих рядов. При небольших будут близки к а при больших расхождение будет, вообще говоря, больше.