3. Формула трапеций и формула Симпсона.

Рассмотрим теперь подробнее формулы замкнутого типа при и 3. Ввиду важности этих формул мы независимо от предыдущего получим коэффициенты формулы и остаточные члены. При интерполяционный многочлен будет иметь первую степень. Таким образом, если перейти на геометрический язык, мы заменяем кривую хордой, соединяющей конечные точки кривой (рис. 25).

Интеграл от интерполяционного многочлена даст площадь трапеции Поэтому и соответствующая формула численного

интегрирования получила название формулы трапеций. Площадь трапеции очевидно, равна

Таким образом,

Остаточный член будет иметь вид

Погрешность формулы трапеций обычно бывает очень велика. Эту погрешность можно значительно снизить, если применять формулу трапеций не сразу ко всему отрезку а разбить его сначала на части и к каждой части в отдельности применить формулу трапеций. При этом надо стремиться разбивать на части так, чтобы интеграл от соответствующей вписанной ломаной был возможно более близким к интегралу от . В частности, если разбивать отрезок на равных частей длины обозначить через последовательные ординаты, то получим:

где Выражение во второй квадратной скобке равно Поэтому наша формула может быть записана так:

Рис. 25.

Назовем эту формулу обобщенной формулой трапеций. Если подынтегральная функция вычисляется несложно, то, взяв достаточно большое мы несложными вычислениями получим достаточно точное значение интеграла.

Рис. 26.

Возьмем теперь В этом случае узлами интерполирования будут являться точки Интерполяционный многочлен будет иметь вторую степень. Выражаясь геометрически, мы проводим параболу через конечные и среднюю точки кривой (рис. 26). Уравнением этой параболы будет

Интегрирование дает

Таким образом, а

Для отыскания остаточного члена построим интерполяционный многочлен Эрмита, совпадающий с в точках и и имеющий в точке производную, равную Этот многочлен можно записать в виде

где К — соответствующая постоянная. Тогда

Заметим, что

Поэтому остаточный член нашей формулы численного интегрирования будет равен

Здесь применима теорема о среднем, так как не меняет знака на Поэтому

Итак,

Мы получили формулу Симпсона. Формула Симпсона также может быть применена не сразу ко всему отрезку, а к отдельным частям его. Требования к выбору этих частей таковы же, как и в предыдущем случае. Если, в частности, мы разобьем на равных отрезков, то получим:

Это — обобщенная формула Симпсона. Коэффициенты этой формулы немногим сложнее коэффициентов формулы трапеций, но точность существенно больше.

Приведем пример на вычисления по полученным нами формулам численного интегрирования.

Пример. Вычислить 1

по обобщенной формуле трапеций, по обобщенной формуле Симпсона и по формуле Ньютона — Котеса, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

В данном случае

Коэффициенты формулы Котеса при равны

Вычисления по обобщенной формуле трапеций дают:

По обобщенной формуле Симпсона получим:

По формуле Ньютона — Котеса будем иметь:

Вычисления по формуле Ньютона — Котеса и формуле Симпсона дали примерно одинаковую точность, но работы по последней формуле было значительно больше.

Оценим остаточные члены каждой из формул. Функция

является производной от Найдем производные от этой функции через производные обратной функции. Получим:

Запишем эти производные в несколько иной форме:

По индукции можно получить:

Отсюда остаточный член обобщенной формулы трапеций будет оцениваться следующим образом:

Для формулы Симпсона будем иметь:

Для формулы Ньютона — Котеса получим:

Наши оценки, естественно, дали завышенные погрешности.