2. Понятие об операторном методе вывода формул интерполирования.

Дадим теперь операторные выводы интерполяционных формул.

Рассмотрим линейное множество всех действительных функций, заданных на всей действительной прямой. Поставим в соответствие произвольной функции функцию

где фиксированное действительное число. Эта функция также принадлежит Следовательно, в соответствии с определением, данным во Введении, мы ввели некоторый оператор. Обозначим его через Итак,

В дальнейшем мы часто будем опускать скобки, выделяющие аргументы операторов. Нами будут также использованы операторы V и , которые вводятся следующим образом:

Оператор А, определенный на линейном множестве называется аддитивным, если для произвольных и любых действительных чисел имеет место равенство

Нетрудно проверить, что введенные нами операторы и 5 являются аддитивными.

Введем понятие суммы и произведения операторов. Оператор С называется суммой операторов если все эти операторы определены на одном и том же линейном множестве и для любого имеет место равенство

Эту связь операторов мы будем обозначать так:

В силу коммутативности сложения в линейном множестве имеет место

Если оператор В преобразует любой элемент х линейного множества в элемент с где с — действительное число и А — некоторый оператор, то мы будем обозначать его через Далее, будем называть оператор С произведением операторов если для любого элемента х некоторого множества имеет место

Очевидно,

Если линейное множество, то имеют место также равенства

Вообще говоря, Будем обозначать через I оператор, для которого при любом имеет место Назовем такой оператор единичным. Теперь мы можем определить Для степеней оператора имеет место равенство

По определению, положим Теперь мы можем рассматривать многочлены от операторов

Если в линейном пространстве каким-то образом введено понятие предела, то мы можем рассматривать и ряды операторов

понимая под этим такой оператор В, что

Оператор В может быть вообще не определен или определен только на части пространства

Перейдем теперь к выводу интерполяционных формул. В дополнение к введенным ранее операторам и 8 рассмотрим еще оператор Если функция разлагается в бесконечный степенной ряд, то

В частности,

Итак,

и

Отсюда

В частности, если то все наши ряды превращаются в конечные суммы и произведенные нами операции являются

законными. Раскрывая последнее выражение, мы получим интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед:

Для получения интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования назад заметим, что

Отсюда

и, кроме того,

Итак,

или

Это — интерполяционная формуля Ньютона для интерполирования назад, но записанная в других обозначениях.

Связь оператора с оператором значительно сложнее. Мы имеем:

и

или

Отсюда

т. е. является решением квадратного уравнения

Мы не будем входить в детали дальнейших рассуждений для получения формул центральных разностей