где
Это — формула Лапласа.
Можно брать и формулы центральных разностей. Например, интегрирование интерполяционной формулы Бесселя по
в пределах от
до 1 даст
Коэффициентами при разностях нечетного порядка будут интегралы
Произведем замену переменных, положив
Тогда числитель под знаком интеграла примет вид:
а пределы интегрирования перейдут в
Таким образом, эти интегралы обратятся в нуль. Интегралы, являющиеся коэффициентами при разностях четного порядка, имеют вид
Обозначим их через
Тогда
Сложив такие интегралы, взятые по отрезкам
получим:
Но
Отсюда
Найдем вид
Остаточный член формулы Бесселя, если последняя используемая разность имеет нечетный порядок
выглядит так:
Следовательно, в этом случае
Коэффициенты
имеют следующие значения:
Интегрируя интерполяционную формулу Стирлинга, получим:
Обозначая
последнее выражение можно записать в виде
Складывая
таких выражений, найдем:
Коэффициенты имеют следующие значения:
И в этом случае нетрудно написать остаточный член. Он будет равен
Все последние формулы используют значения функции для х, лежащих вне отрезка интегрирования. Их можно использовать как для интегрирования, так и для суммирования.
Можно было бы значительно расширить набор такого рода формул численного интегрирования. Некоторые новые формулы будут получены в главе 9, посвященной численному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Сам читатель сможет теперь без труда получать нужные ему для тех или иных целей формулы.