§ 2. Метод вычислительной математики

Круг задач, с которыми приходится сталкиваться в вычислительной математике, очень широк. Разнообразны и методы, применяемые для решения этих задач. Однако можно заметить одну общую идею этих методов. Эта идея отчетливее всего выражается в терминах функционального анализа. Поэтому мы введем предварительно некоторые важнейшие понятия функционального анализа.

1. Функциональные метрические пространства.

Основным предметом исследования в классическом математическом анализе является числовая функция. С появлением понятия функции одной и нескольких переменных, функции точки в евклидовом пространстве начался современный этап развития математики. Начиная с работ Ньютона и Лейбница и до конца XIX века подавляющее большинство математических исследований так или иначе было связано с этим понятием. Главным предметом изучения были числовые функции и их системы, заданные в -мерной области, т. е. на некотором множестве -мерного евклидова пространства.

Двадцатый век внес много нового в эту картину. Особо важную роль начинает играть понятие о функциональном множестве, о функциональных I ространствах и о функциональных операторах, т. е. о функциях, аргументами которых также являются элементы функциональных пространств. Вместо евклидовых пространств рассматриваются абстрактные пространства, элементы которых могут иметь самую различную природу. Так, например, вводится понятие метрического пространства как абстрактного множества, для любых двух элементов х и у которого определено понятие расстояния удовлетворяющее следующим условиям:

1. , причем тогда и только тогда, когда х совпадает с у.

3. для любых трех элементов х, у, z, принадлежащих (аксиома треугольника).

Евклидовы пространства с обычным определением расстояния в удовлетворяют всем Этим условиям. Но могут быть и другие метрические пространства. Так, рассмотрим множество всевозможных непрерывных функций, заданных на отрезке Для любых двух таких функций и определим расстояние равенством

Нетрудно проверить, что так определенное расстояние удовлетворяет всем трем поставленным выше условиям. Таким образом, мы получили функциональное метрическое пространство, которое обычно называют пространством С.

Другим важным классом функциональных пространств являются пространства (Здесь действительное число Измеримая, на функция принадлежит если суммируема

Две функции принадлежащие считаются эквивалентными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль. Расстояние р(х, у) в определяется следующим образом:

Так определенное расстояние удовлетворяет трем поставленным выше условиям.

Можно было бы значительно расширить примеры различных функциональных пространств, но мы на этом пока ограничимся.

Рис. 1.

В каждом метрическом пространстве можно говорить об окрестности данной точки. Назовем тностью точки х некоторого метрического пространства совокупность его точек у, для которых выполняется неравенство

В пространстве С это будет совокупность всех непрерывных на функций, лежащих в полосе (рис. 1). В пространстве

это будет совокупность всех функций, принадлежащих для которых

При этом в отдельных точках отклонение от может быть очень большим, а зато в других точках будет очень малым (рис. 2).

Рис. 2.

В вычислительной математике часто приходится заменять одну функцию другой функцией, более удобной для вычислительных целей и в каком-то смысле близкой к первой. Обычно эту вторую функцию берут в некоторой -окрестности первой. Если -окрестность берется в пространстве С, то говорят о равномерном приближении функции Если -окрестность берут в пространстве то говорят о приближении в среднем. В частности, при говорят о среднеквадратичном приближении.

2. Функции, определенные на функциональных пространствах.

Точно так же, как в классическом математическом анализе, можно ввести понятие функции, аргументом и значением которой будут элементы абстрактных пространств.

Пусть нам даны два абстрактных пространства Пусть каждому элементу поставлен в соответствие элемент Тогда мы будем говорить, что нам задана функция

с обпастью определения и областью значений, принадлежащей В частности, если является областью действительных или

комплексных чисел, то называется функционалом. Простейшим примером функционала в пространстве С будет являться

Пространство может совпадать с пространством и тогда будем называть оператором. Область математики, изучающая свойства функциональных пространств и заданных на них функций, и носит название функционального анализа.

3. Метод вычислительной математики.

Теперь можно охарактеризовать метод вычислительной математики.

В вычислительной математике приходится сталкиваться с самыми различными задачами. Но большинство этих задач может быть записано в виде

где х и у принадлежат заданным пространствам некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании у по заданному х, либо в отыскании х по заданному у. В нашем курсе мы будем иметь дело только с такими задачами. Далеко не всегда с помощью средств современной математики удается точно решить эти задачи, применяя конечное число шагов. В этих случаях и прибегают к вычислительной математике. Иногда задача и может быть решена точно, но методы классической математики дают ответ после громоздких и трудоемких вычислений. Поэтому и задачи вычислительной математики входит также разработка приемов и методов наиболее рационального решения конкретных задач. Как это делается в различных случаях, будет видно из дальнейшего курса. Сейчас же мы выскажем некоторые общие сообщения.

Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные выше задачи, является замена пространств и и функции А некоторыми другими пространствами и и функцией А, более удобными для вычислительных целей. Иногда бывает достаточно произвести замену пространств или даже одного из них. Иногда достаточно заменить только функцию А. Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи

было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи (7) и его возможно было бы практически отыскать с сравнительно небольшими трудностями.

Например, пусть необходимо вычислить интеграл

где непрерывная функция, причем неопределенный интеграл не берется в элементарных функциях. Чтобы получить достаточно точное приближенное значение интеграла, можно идти двумя путями.

1. Заменим функцию алгебраическим многочленом равномерно приближающим функцию на отрезке с необходимой степенью точности. Как будет показано в главе 4, это всегда сделать можно. Вместо интеграла будем находить интеграл вычисление которого не составляет труда. Здесь мы, не меняя функционала заменяем пространство С, которому принадлежит пространством многочленов и вместо функции берем многочлен из некоторой ее -окрестности.

2. Из определения интеграла следует, что всегда можно построить интегральную сумму которая будет достаточно близка к значению интеграла. Следовательно, вместо вычисления интеграла можно решать другую задачу — задачу вычисления конечной суммы

Здесь мы уже заменяем функцию новой функцией

Для успешного применения указанного выше метода вычислительной математики необходимо в первую очередь иметь рациональные способы замены пространства другим пространством

Часто для этой цели в пространстве отыскивают конечное множество элементов

которые бы, с одной стороны, достаточно хорошо аппроксимировали каждый элемент пространства а с другой стороны, были бы достаточно удобны для вычислительной работы. При этом в качестве берут пространство, состоящее из этого конечного числа элементов, и элементу ставят в соответствие ближайший элемент срили один из ближайших, если таких элементов несколько. В дальнейшем мы увидим много примеров того, как это осуществляется.

Такой прием не всегда применим. Для того чтобы им можно было воспользоваться, необходимо наложить дополнительные ограничения на метрическое пространство Не вдаваясь в подробности, укажем на те свойства, которыми в этом случае должно обладать пространство Для любого должны существовать элементы такие, что какой бы элемент мы ни взяли, найдется такой элемент для которого

В этом случае элементы называют -сетью пространства Из наличия -сети при любом будет вытекать компактность пространства в себе. Это означает, что из любой последовательности элементов принадлежащих можно выделить фундаментальную подпоследовательность, т. е. такую подпоследовательность Для любого найдется целое положительное что при имеет место неравенство

Из наличия -сети при любом следует также сепарабельность пространства что означает существование счетного всюду плотного в множества элементов, т. е. такого множества, что в любой окрестности элемента найдется хотя бы один элемент этого множества.

Однако из предыдущих рассуждений нельзя делать вывода, что конечные аппроксимирующие группы можно использовать только Для компактных в себе пространств. Во-первых, нужно заметить, что современный функциональный анализ не связан каким-либо одним способом метризуемости. Наоборот, одна и та же функция может служить элементом самых различных пространств. Функциональные пространства могут целиком вкладываться в другие функциональные пространства с сохранением или потерей понятия близости, расстояния и других. Иногда возможно рассматривать пространство как предельное множество его подпространств обладающих нужными нам свойствами.

Можно было бы многое говорить относительно различных применений функционального анализа в вычислительной математике. Однако удобнее это сделать при изложении конкретного материала курса.

Резюмируя сказанное выше, мы отметим, что в настоящее время перед вычислительной математикой стоят следующие основные задачи:

1. Приближение множеств в функциональных пространствах.

2. Приближение функций, заданных на функциональных пространствах.

3. Разработка рациональных алгоритмов и методов решения задач в условиях применения современных вычислительных машин.