3. Остаточные члены интерполяционных формул Ньютона.

Сейчас мы перейдем к исследованию остаточных членов интерполяционных формул Ньютона для интерполирования вперед и назад. Для первой формулы получим:

Для второй

В некоторых случаях, особенно когда значения получены из эксперимента, бывает очень трудно оценить величину производной Дадим здесь простой, хотя и очень грубый способ такой оценки. Как известно из предыдущего параграфа,

С другой стороны,

Считая, что на рассматриваемом отрезке производная следовательно и разности меняется не сильно, мы можем заменить производную, входящую в остаточный член, разностью и получить

Аналогично для второй формулы

Нужно еще раз подчеркнуть, что полученные формулы очень грубы и применять их можно только в случае крайней необходимости. Если не выполнено условие о том, что производная меняется незначительно, то можно получить совершенно нелепый результат. Так, например, рассмотрим функцию

и пусть в качестве узлов интерполирования использованы целочисленные значения Тогда разности ведут себя очень хорошо и уже, начиная со второго порядка, точно равны нулю. Следовательно, на основании грубой оценки мы получили бы, что -линейная функция. Однако на самом деле ; при больших будет сильно отличаться от линейной функции. По грубой оценке ошибка интерполяционной формулы равна первому отброшенному члену.

Для того чтобы можно было сравнивать по точности различные интерполяционные формулы, приведем здесь значения коэффициентов

для значений на отрезке Мы их будем брать по абсолютной величине. Эти абсолютные значения будут пригодны и для интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования назад с заменой на Поэтому в левом столбце мы дадим значения для формулы Ньютона для интерполирования вперед, а в самом правом -для интерполирования назад:

(см. скан)

Как и всегда, погрешности экстраполяции значительно превышают погрешности интерполяции.

Приведем еще таблицу значений неустранимой погрешности для наших формул, точнее таблицу коэффициентов при (см. (7) § 3). Значения взяты из таблицы на стр. 97 с соответствующим видоизменением значений Опять левый столбец будет соответствовать интерполяционной формуле Ньютона для интерполирования вперед, а правый для интерполирования назад.

(см. скан)

На этом мы временно оставим интерполяционные формулы Ньютона и перейдем к выводу других формул. Недостатком формул Ньютона при интерполировании в промежутке изменения от до 1 является то, что узлы интерполирования расположены несимметрично относительно Сейчас мы получим формулы, свободные от этого недостатка.