3. Многочлены Чебышева первого и второго рода.

Возьмем теперь в качестве веса

Нетрудно проверить, что многочлены Чебышева

о которых мы уже говорили ранее, будут ортогональны на отрезке с этим весом. Действительно, производя в интеграле

замену

получим:

Рекуррентную формулу для многочленов Чебышева (будем их называть многочленами Чебышева первого рода) мы уже получили ранее.

Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева первого рода будет иметь вид

Если для функции где искать наилучшее среднеквадратичное приближение с весом на отрезке в виде

то коэффициенты будут находиться по формулам:

а отклонение по формуле

Пример. Для функции найти на отрезке наилучшее среднеквадратичное приближение с весом в совокупности многочленов степени не выше седьмой. Будем искать этот многочлен в виде

Коэффициенты многочлена будут иметь вид

Таким образом,

и

Ниже приведена таблица значений показывающая точность приближения, которой мы при этом достигаем:

(см. скан)

На том же отрезке при весе будут ортогональны функции

называемые ортогональными многочленами Чебышева второго рода.

В самом деле,

и, сделав замену получим:

Для того чтобы показать, что действительно являются многочленами степени вычислим производную от многочлена Чебышева первого рода

Следовательно,

а так как есть многочлен степени то есть многочлен степени

Рекуррентная формула для многочленов Чебышева вторэго рода примет вид

Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева второго рода выглядит так:

Если на отрезке нужно найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции где в совокупности многочленов степени не выше то ищем его в виде

где коэффициенты находятся по формулам:

Величина же наилучшего приближения найдется из равенства

Приближение, получаемое с помощью многочленов в большей степени учитывает значения приближаемой функции в середине отрезка