§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева

1. Построение формул.

В предыдущеем параграфе получили как частный случай формул Гаусса формулы числеиного интегрирования Эрмита. Они характеризуются тем. что все коэффициенты при равны. Это оказывается существенным, когда значения подвержены случайным ошибкам (например, получены из эксперимента). Тогда выражение

будет иметь наименьшую случайную ошибку при

В связи с этим Чебышев поставил следующую задачу: найти абсциссы и коэффициент К так, чтобы в формуле численного интегрирования

остаточный член обращался в нуль, когда является произвольным многочленом возможно большей степени. Так как в нашем распоряжении находится величин то степень эта не меньше

Коэффициент К находится без труда. Полагая получим:

Отсюда

Как и в предыдущем параграфе, вместо того чтобы отыскивать сами абсциссы найдем многочлен

Возьмем в качестве функцию

где произвольное число, Тогда

Последнее выражение можно записать в виде

Проинтегрируем обе части равенства по z. Получим:

Здесь С — постоянная интегрирования. Потенцированием находим:

Представим показательную функцию, стоящую множителем в левой части равенства, в виде ряда по убывающим степеням z. Имеем:

Ряд справа при и будет равномерно и абсолютно сходиться. Далее,

В силу нашего предположения первый член справа равен нулю. Но

Таким образом, будет представляться сходящимся рядом по убывающим степеням причем наивысшей степенью будет

Поэтому

Итак,

т. е. эта показательная функция представляется рядом

Произведение

может быть представлено в виде ряда

так как наивысшая степень равна Отсюда следует, что и

разлагается в такой же ряд и члены с положительными степенями дадут Будем называть эти члены правильной частью ряда и обозначать

Таким образом, мы показали, что в формулах численного интегрирования Чебышева определяется из равенства

Здесь С подбирается так, чтобы коэффициент при был равен 1.

Дадим еще один способ получения В формуле

возьмем

где — произвольные действительные числа. Получим:

так как в этом случае должен обращаться в нуль. Введем обозначение

В силу произвольности должны иметь место следующие равенства:

Первое равенство дает:

т. е. то же, что и раньше. Деля остальные равенства на К и обозначая получим систему уравнений для определения К

Опять будем разыскивать многочлен корнями которого являются удовлетворяющие этой системе. Пусть

Нам нужно найти Имеем:

и

Далее,

Отсюда и из равенства (23) получаем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в равенствах (24) и (26), находим:

Отсюда последовательно можно найти Для получения коэффициента рассмотрим сумму

С одной стороны, эта сумма равна нулю, так как С другой стороны, складывая представления в виде многочлена по возрастающим степеням при различных получим:

Отсюда определится

Итак, мы показали, что для каждого можно найти такое, что если корни принять за абсциссы формулы численного интегрирования, то все коэффициенты этой формулы будут равны между собой. Очевидно, полученное вторым способом, будет совпадать с полученным первым способом.

Рассмотрим теперь частный случай формул Чебышева, когда При этом

а абсциссы являются корнями уравнения

Но при

Отсюда

Дадим значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Получим следующие уравнения для получения

Можно было бы получить и для других значений но, как показал академик С. Бернштейн, при этом уравнение будет иметь комплексные корни и, следовательно, соответствующая формула Чебышева не может быть использована. Абсциссы формул Чебышева при различных значениях даются следующей таблицей:

Рассмотрим пример на вычисление интеграла по формуле Чебышева.

Пример. Вычислить по формуле Чебышева интеграл 1

Как и в предыдущем параграфе, преобразуем предварительно интеграл к отрезку Последовательные значения ординат будут таковы:

Вычисления дают

Ошибка не превышает двух единиц шестого знака.