§ 2. Формулы численного дифференцирования

1. Формулы численного дифференцирования для неравноотстоящих узлов.

Будем исходить из интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков:

Для сокращения записей обозначим Дифференцируя обе части равенства (1) один раз, будем иметь:

За приближенное значение первой производной при численном дифференцировании будет приниматься

Остаточный член будет выглядеть так:

Упростим второй член справа. По определению

Таким образом,

или, если использовать связь разделенных разностей с производными,

В узлах интерполирования второй член справа обращается в нуль и выражение остаточного члена будет более простым. Дифференцируя еще раз, получим:

За приближенное значение второй производной при численном дифференцировании будет приниматься

Остаточный член будет иметь вид

Второй член справа упрощается так же, как это делалось для первой производной. Упростим третий член. В силу определения производной и свойств разделенных разностей будем иметь:

Таким образом, остаточный член в этом случае примет следующий вид:

или

Если х принимает одно из значений то последний член справа обратится в нуль и остаточный член упростится. Аналогичные рассуждения можно провести и для любого В общем случае получим:

Для упрощения остаточных членов нам понадобятся выражения

Покажем, что

Как это следует из предыдущего, при и 2 эта формула справедлива. Предположим, что она справедлива при и докажем ее справедливость при . В силу нашего предположения

и

Воспользуемся опять определением производной

Выражение в числителе последней дроби можно записать в виде

Таким образом,

и формула (13) доказана. В силу доказанной формулы остаточный член при численном отыскании производной порядка может быть представлен в виде

или

где - некоторые точки, заключенные в интервале между наибольшим и наименьшим из чисел

Если точка х находится вне отрезка, содержащего точки то остаточный член может быть представлен более простым выражением. Для этого рассмотрим многочлен

Он совпадает с функцией в точках Подберем постоянную С так, чтобы в точке х, для которой производится оценка, имело место равенство

Это возможно, так как все корни уравнения лежат в наименьшем отрезке, содержащем Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция обращается в нуль в точках Следовательно, первая производная ее обращается на наименьшем отрезке, содержащем точки в нуль по крайней мере раз.

Проводя те же рассуждения дальше, получим, что производная порядка обратится на этом отрезке в нуль по крайней мере раз. Но в силу выбора С она обратится в нуль и в точке х, лежащей вне этого отрезка. Таким образом, она обращается в нуль по крайней мере в точках. Снова будем последовательно применять теорему Ролля. В конце концов, придем к выводу, что производная порядка обращается в нуль по крайней мере в одной точке Но

Отсюда

и

Получили более простое выражение остаточного члена.

Рассмотрим пример на применение формул численного дифференцирования.

Пример. По таблице

(см. скан)

используя формулы численного дифференцирования, найти

Составляем таблицу разделенных разностей:

(см. скан)

Отсюда получаем учитывая, что в нашем случае

Множитель справа появился за счет того, что у нас х взято в градусном измерении. Точное значение с шестью верными знаками Используя формулу для второй производной, получим:

Точное значение с шестью знаками равно 0,258819. Расхождения получились довольно значительными. Это и естественно, так как функции могут быть и очень близки друг к другу, но иметь сильно различающиеся производные.

Произведем оценку погрешности. В первом случае остаточный член будет иметь следующий вид:

При этом

При получим:

Таким образом,

Эта величина значительно меньше фактически полученной погрешности. В данном случае вычислительная погрешность значительно перекрывает погрешность метода. Во втором случае

При этом

Таким образом,

И в этом случае вычислительная погрешность очень велика.