Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 2. Формулы численного дифференцирования
1. Формулы численного дифференцирования для неравноотстоящих узлов.
Будем исходить из интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков:
Для сокращения записей обозначим
Дифференцируя обе части равенства (1) один раз, будем иметь:
За приближенное значение первой производной при численном дифференцировании будет приниматься
Остаточный член будет выглядеть так:
Упростим второй член справа. По определению
Таким образом,
или, если использовать связь разделенных разностей с производными,
В узлах интерполирования
второй член справа обращается в нуль и выражение остаточного члена будет более простым. Дифференцируя еще раз, получим:
За приближенное значение второй производной при численном дифференцировании будет приниматься
Остаточный член будет иметь вид
Второй член справа упрощается так же, как это делалось для первой производной. Упростим третий член. В силу определения производной и свойств разделенных разностей будем иметь:
Таким образом, остаточный член в этом случае примет следующий вид:
или
Если х принимает одно из значений
то последний член справа обратится в нуль и остаточный член упростится. Аналогичные рассуждения можно провести и для любого
В общем случае получим:
Для упрощения остаточных членов нам понадобятся выражения
Покажем, что
Как это следует из предыдущего, при
и 2 эта формула справедлива. Предположим, что она справедлива при
и докажем ее справедливость при
. В силу нашего предположения
и
Воспользуемся опять определением производной
Выражение в числителе последней дроби можно записать в виде
Таким образом,
и формула (13) доказана. В силу доказанной формулы остаточный член при численном отыскании производной порядка
может быть представлен в виде
или
где
- некоторые точки, заключенные в интервале между наибольшим и наименьшим из чисел
Если точка х находится вне отрезка, содержащего точки
то остаточный член может быть представлен более простым выражением. Для этого рассмотрим многочлен
Он совпадает с функцией
в точках
Подберем постоянную С так, чтобы в точке х, для которой производится оценка, имело место равенство
Это возможно, так как все корни уравнения
лежат в наименьшем отрезке, содержащем
Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция обращается в нуль в точках
Следовательно, первая производная ее обращается на наименьшем отрезке, содержащем точки
в нуль по крайней мере
раз.
Проводя те же рассуждения дальше, получим, что производная порядка
обратится на этом отрезке в нуль по крайней мере
раз. Но в силу выбора С она обратится в нуль и в точке х, лежащей вне этого отрезка. Таким образом, она обращается в нуль по крайней мере в
точках. Снова будем последовательно применять теорему Ролля. В конце концов, придем к выводу, что производная порядка
обращается в нуль по крайней мере в одной точке
Но
Отсюда
и
Получили более простое выражение остаточного члена.
Рассмотрим пример на применение формул численного дифференцирования.
Пример. По таблице
(см. скан)
используя формулы численного дифференцирования, найти
Составляем таблицу разделенных разностей:
(см. скан)
Отсюда получаем учитывая, что в нашем случае
Множитель
справа появился за счет того, что у нас х взято в градусном измерении. Точное значение с шестью верными знаками
Используя формулу для второй производной, получим:
Точное значение
с шестью знаками равно 0,258819. Расхождения получились довольно значительными. Это и естественно, так как функции могут быть и очень близки друг к другу, но иметь сильно различающиеся производные.
Произведем оценку погрешности. В первом случае остаточный член будет иметь следующий вид:
При этом
При
получим:
Таким образом,
Эта величина значительно меньше фактически полученной погрешности. В данном случае вычислительная погрешность значительно перекрывает погрешность метода. Во втором случае
При этом
Таким образом,
И в этом случае вычислительная погрешность очень велика.