§ 7. Интерполяционные формулы, использующие центральные разности

1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя и Эверетта.

Опять воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для неравных промежутков ((6) § 5) и возьмем в качестве узлов точки

Тогда

Используя симметричность разделенных разностей относительно своих аргументов и их связь с конечными разностями, получим:

Отсюда

Обозначив, как и ранее,

получим:

Это — интерполяционная формула Гаусса. В ней используются следующие разности (подчеркнуты черточкой):

(см. скан)

Если бы мы взяли узлы интерполирования в другом порядке, а именно: то совершенно аналогично получили бы вторую формулу Гаусса:

Для того чтобы их можно было различить, будем называть первую из них интерполяционной формулой Гаусса для интерполирования вперед, вторую — для интерполирования назад. Интерполяционная формула Гаусса для интерполировачия назад использует следующие разности:

(см. скан)

Полусумма двух интерполяционных формул Гаусса даст нам:

так как

а

Мы получили формулу Стирлинга. В ней используются разности четного порядка с индексом и полусуммы разностей нечетного порядка с индексами и как показано в следующей таблице:

(см. скан)

Приведем пример на вычисление по формуле Стирлинга. Пусть требуется найти по значениям Таблица разностей будет такова:

(см. скан)

За возьмем ближайшее к х узловое значение, т. е. 15°. Тогда и вычисления дадут:

Все знаки верны.

Получим еще одну важную интерполяционную формулу. Для этого применим интерполяционную формулу Гаусса для интерполирования назад (6) к точке Тогда

В этой формуле для обозначения параметра мы использовали вместо так как он равен а не Легко видеть, что Сделаем замену на Тогда получим:

Полусумма этой формулы и формулы Гаусса для интерполирования вперед (5) даст

так как

а

Эта формула носит имя Бесселя. Она особенно удобна для интерполирования на середину, т. е. для Действительно, в этом случае все члены, содержащие разности нечетного порядка, обратятся в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:

(см. скан)

В качестве примера на применение формулы Бесселя вычислим по данным предыдущего примера. При этом, если в качестве взять снова 15°, то Вычисления дают:

Получили тсчное значение с шестью десятичными знаками.

Из используемых часто формул нам осталось получить еще только формулу Эверетта. Чтобы вывести ее, исключим разности нечетного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед (5) при помощи соотношения

При этом у нас появятся члены с разностями имеющие коэффициент

и разности с коэффициентом

Преобразуем последнее выражение, заменив на 1 — Получим:

Окончательно формула Эверетта примет вид

В этой формуле используются разности, подчеркнутые в таблице черточкой:

(см. скан)

Формула Эверетта имеет некоторые особенности, отличающие ее от других выведенных нами формул. Прежде всего она содержит только разности четного порядка. Это особенно удобно при печатании таблиц, если в них необходимо поместить также и разности.

Далее, она содержит разности, соответствующие точкам При этом количество вычислений не больше, чем по любой другой интерполяционной формуле. С другой стороны, этой особенностью можно иногда воспользоваться для сокращения работы при некоторых вычислительных процессах. Это, например, имеет место в процессах субтабулирования, т. е. в том случае, когда по данной таблице нужно составить новую таблицу с более мелким шагом. Действительно, при этом вторая строка формулы Эверетта перейдет в первую на следующем шаге и полученные нами на первом шаге ее значения могут быть использованы вторично. В качестве иллюстрации на применение формулы Эверетта мы и возьмем пример на субтабулирование. Пусть по заданным значениям требуется найти значения синусов на отрезке с шагом в 30. При этом будут принимать значения . Коэффициенты формулы Эверетта будут равны:

(см. скан)

Значения синусов и вторых разностей возьмем из предыдущих примеров. Отсутствующие там вторые разности равны

Промежуточные вычисления можно свести в следующую таблицу:

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Получив эту таблицу, последовательно найдем значения синуса промежуточных аргументов. Так, равен сумме чисел, стоящих в столбце 5 и строках равен сумме строк сумме строк 3 и 8, - сумме строк сумме строк 1 и 10. Далее, равен сумме чисел, стоящих в столбце 5 и строках 10 и 11, а затем так же, как и в предыдущем случае. Окончательно получим таблицу (в последнем столбце указана разность между полученным и точным значениями в единицах шестого десятичного знака):

(см. скан)

Мы уже говорили о том, что при издании таблиц выгодно печатать только разности четного порядка и тем самым предполагать интерполирование по формуле Эверегта. При этом можно

достичь дальнейших упрощений. Пусть мы хотим использовать формулу Эверетта до членов с четвертыми разностями:

Последние два члена первой и второй строк можно записать в виде

и

где некоторая постоянная. Выражения и стоящие в последних квадратных скобках, изменяются незначительно при изменении в промежутке ( в котором обычно используют формулу Эверетта. Поэтому можно так подобрать что множители при четвертых разностях в последних членах будут очень малы. Если при этом и сами четвертые разности не очень велики, так что их произведение с этими множителями не окажет влияния на верные десятичные знаки то последние члены можно целиком отбросить. Тогда мы можем печатать в таблице вместо настоящих вторых разностей модифицированные разности и использовать формулу Эверетта только до вторых разностей. Выберем так, чтобы

был равен нулю. Это даст

На практике используют значение При этом изменяются в пределах от —0,016 до 0,034. Коэффициенты при меняются от —0,00077 до 0,00053. Следовательно, даже если четвертые разности достигают 600 единиц последнего знака, наш прием будет применим.

Сказанное здесь о формуле Эверетта можно частично перенести и на другие интерполяционные формулы. Так можно использовать модифицированные разности и с другими формулами. Можно использовать симметрию коэффициентов многих интерполяционных формул.