§ 4. Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими многочленами

Возьмем в качестве множество функций, интегрируемых с квадратом на Можно показать, что это множество линейно. Ограничимся случаем действительных функций и будем рассматривать линейные комбинации с действительными коэффициентами. Определим скалярное произведение функций следующим обрезом:

Нетрудно проверить, что все свойства скалярного произведения имеют место, если считать функции, отличающиеся друг от друга не более чем на множестве меры нуль, равными. Норма функции будет равна

Будем также рассматривать и более общие множества Возьмем некоторую фиксированную функцию на и обращающуюся там в нуль не более чем на множестве меры нуль. Будем считать, что если существует

В качестве скалярного произведения возьмем

Мы получили два гильбертовых пространства. Будем первое из них обозначать а второе Сходимость в первом пространстве есть хорошо известная из анализа сходимость в среднем, а сходимость во втором — сходимость в среднем с весом

Функции линейно независимы на и принадлежат как к так и к Совокупность многочленов с действительными коэффициентами степени не выше можно рассматривать как линейное множество, построенное на функциях Поэтому на основании общей теории § 3 в найдется один и только один многочлен

который дает наилучшее приближение функции в смысле метрики пространства , т. е. такой, для которого

(Мы не будем здесь отдельно писать выражения для так как можно рассматривать как частный случай при Если ввести обозначения

то коэффициенты многочлена наилучшего приближения могут быть найдены как решение системы

которая всегда имеет единственное решение, так как определитель этой системы как определитель Грамма линейно независимых на функций всегда положителен.

Величина наилучшего приближения определится равенством

Изложенный способ получения многочлена наилучшего приближения имеет тот недостаток, что для отыскания коэффициентов приходится решать систему алгебраических уравнений, что при больших сопряжено с большой вычислительной работой. Мы видели ранее, что система значительно упростится, если в выбрать ортогональный в смысле базис.