Глава XIII. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Уравнения поля общей теории относительности нелинейны. Пока мы нашли решения только приближенных линейных уравнений. В этой главе будут рассмотрены случаи, в которых возможно решение точных уравнений в конечном виде.

Общего метода нахождения точных решений уравнений поля не существует. Однако точное решение возможно в тех немногих случаях, когда число переменных можно уменьшить, используя условия симметрии.

Решение Шварцшильда.

Рассмотрим сначала решение, соответствующее покоящейся точечной массе. Предположим, что решение сферически симметрично и что ни одна из переменных не зависит от . Если ввести переменную

наиболее общим видом линейного элемента с указанными свойствами будет

где А, В, С и D являются функциями от . Этот линейный элемент не меняет своего вида при повороте пространственных координат вокруг оси, проходящей через начало координат.

Подходящим преобразованием координат можно исключить две из четырех неизвестных функций А, В, С и D,

не нарушая при этом статического характера задачи и сферической симметрии линейного элемента. Производя сначала лреобразование координат

можно исключить члены, содержащие произведения Компоненты преобразуются при этом согласно уравнению

или

Выбирая так, чтобы оно удовлетворяло уравнению

можно исключить член, содержащий В.

Рассмотрим далее метрику с компонентами

Преобразуя пространственные координаты следующим образом

получим новую систему координат, в которой метрика сохраняет прежний вид (13.6), но где функция С — постоянная и равна единице. Компоненты преобразуются

по закону

В полученной системе координат С будет равно единице, если в (13.7) выбрать следующим образом:

Остаются только две неизвестные функции А и Вместо них введем две другие функции от функции — и V, с помощью которых решение уравнений поля значительно упрощается. Новые функции зададим уравнениями:

Для компонент контравариантного метрического тензора получим:

Найдем теперь символы Кристоффеля и компоненты тензора Для символов Кристоффеля первого рода имеем

где штрихами обозначено дифференцирование по Компоненты, в которые индекс 4 входит нечетное число раз, равны нулю. Символы Кристоффеля второго рода имеют следующий вид:

Как и в предыдущем случае, компоненты, в которые индекс 4 входит нечетное число раз, обращаются в нуль.

Вычислим компоненты свернутого тензора кривизны

тогда компоненты тензора будут равны

Рассмотрим сначала гравитационное поле в пустоте, где удовлетворяются уравнения (12.4). Нужно решить следующие три уравнения для двух неизвестных:

Эти три уравнения не независимы, так как они должны удовлетворять свернутым тождествам Бьянки (11.46).

Из первого и второго уравнений видно, что сумма равна нулю:

Решим первое уравнение относительно V. Для этого введем величину х:

Тогда вместо первого уравнения (13.16) получим уравнение для

решением которого будет

где а — постоянная интегрирования. В силу (13.17) функция может быть представлена в виде:

где — новая постоянная. Решения (13.19) и (13.20) удовлетворяют и третьему уравнению (13.16). Таким образом, для компонент метрического тензора находим:

При больших компоненты метрического тензора должны стремиться к значениям уравнения (12.7). Для этого необходимо положить равной нулю. Оставшаяся постоянная а должна характеризовать массу частицы, образующей поле (13.21).

Согласно (12.13) ньютоновский потенциал, создаваемый точечной массой поля (13.21), равен

С другой стороны, О связано с массой уравнением

откуда находим связь постоянной а с массой :

Гравитационное поле точечной шссы поэтому дается выражениями

Это решение было получено Шварцшильдом.

Решение Шварцшильда замечательно тем, что оно представляет собой единственное статическое сферически симметричное решение уравнений поля в пустоте, переходящее в плоскую метрику на бесконечности. Остальные решения уравнений поля в пустоте, обладающие теми же свойствами» получаются из решения Шварцшильда путем преобразования координат. Более того, Биркгоффом было показано, что все сферически симметричные решения уравнений поля в пустоте, удовлетворяющие граничным условиям на бесконечности, эквивалентны полю Шварцшильда, т. е. что их зависимость от времени может быть исключена подходящим преобразованием координат.

Пусть ограниченная область пространства заполнена материей, создающей сферически симметричную метрику. Тогда согласно сказанному выше гравитационное поле вне области, занятой материей, должно быть полем Шварцшильда. Создающая поле материя может даже пульсировать (сферически симметрично), не меняя поля вне ее. При этом, конечно, предполагается, что нет потока материи или электромагнитного излучения из области, занятой материей, наружу.