Вариационный принцип Вейля.

Вейль стремился получить уравнения поля, как уравнения Лагранжа-Эйлера вариационного принципа. Покажем следующее: если вариационный принцип инвариантен относительно преобразования координат, то эти уравнения всегда удовлетворяют необходимому количеству тождеств.

Рассмотрим вариационный принцип в виде:

где индексы служат для нумерации переменных поля у. Если варьировать так, чтобы вариации и их производные вплоть до нужного порядка исчезали на границе области то вариация интеграла (16.26) примет вид

и уравнения

будут уравнениями Эйлера-Лагранжа вариационного принципа (16.26). Будем изменять переменные на величины, соответствующие бесконечно малым преобразованиям координат

Если и их производные исчезают на границе V, то значение не изменится при вариации, независимо от того, удовлетворяются уравнения (16.28) или нет.

При преобразовании координат (16.29) функции претерпевают бесконечно малые изменения которые зависят от и от специального вида закона преобразования Рассмотрим случай, когда некоторые из являются компонентами контравариантного вектора При переходе

от координат к координатам преобразованные компоненты вектора станут новыми функциями от ; кроме того, аргументы этих функций должны быть заменены на Если выразить преобразованные компоненты векторного поля как функции первоначальных координат, получим

В каждой мировой точке величины равны т. е.

где — соответственно первоначальные и новые координаты в одной и той же мировой точке. Чтобы найти разность значений функций для одинаковых значений соответствующих аргументов, нужно сравнить в мировой точке с координатами в мировой точке с координатами Тогда получим

и поэтому бесконечно малым изменением функции будет

Вообще говоря, компоненты тензоров и тензорных плотностей преобразуются согласно законам типа

где постоянные зависят от особенностей законов преобразования. В законе преобразования имеется один член, не относящийся к типу (16.34). Чтобы его учесть, предположим, что рассматриваемые переменные поля преобразуются согласно закону

где — добавочные постоянные.

Чтобы найти условие инвариантности относительно общих преобразований координат, заменим в (16.27) его выражением (16.35). Тогда должно обращаться в нуль при произвольных если только и его первые и вторые производные исчезают на границе области V. Имеем

Производя ряд интегрирований по частям, получим отсюда

и если произвольны внутри V, то уравнения Эйлера-Лагранжа должны удовлетворять четырем дифференциальным тождествам

Рассмотрим теперь вариационный принцип в градиентно-инвариантной теории Вейля. Подинтегральное выражение инвариантного интеграла должно быть скалярной плотностью с весом Скалярная плотность кривизны

имеет вес Поэтому лангранжиан вариационного принципа должен быть квадратичной функцией кривизны. Существует несколько скалярных плотностей с весом которые могут быть образованы из компонент тензора кривизны, именно:

Первые три из них являются дифференциальными величинами четвертого порядка относительно Наиболее общий лагранжиан такого порядка должен быть линейной комбинацией четырех выражений (16.39). Вариации десяти

независимы друг от друга, но связаны добавочным условием неизменности нормировки детерминанта

Это дополнительное условие легко учесть, применяя метод неопределенных множителей Лагранжа. Появляющийся, таким образом, в уравнениях добавочный параметр можно, однако, исключить, тогда в конечном счете получим тринадцать дифференциальных уравнений для тринадцати переменных удовлетворяет условию (16.1)). Эти тринадцать уравнений удовлетворяют четырем дифференциальным тождествам (16.37).

Существуют два основных возражения относительно уравнений этого типа. Во-первых, они являются дифференциальными уравнениями четвертого порядка относительно Имеются все основания полагать, что уравнения такого высокого порядка имеют гораздо больше решений, чем уравнения поля второго порядка, поэтому очень трудно объяснить, почему решения этих гипотетических уравнений четвертого порядка так хорошо аппроксимируются в природе решениями уравнений второго порядка. Во-вторых, лагранжиан вариационного принципа не является однозначно определенным, так как для него годится любая линейная комбинация выражений (16.39). Таким образом, не достигается желательной унификации поля, так как остается еще чисто «электромагнитная скалярная плотность [последнее выражение (16.39)], которая может входить в лагранжиан с произвольным коэфициентом.