Законы сохранения в общей теории относительности.

Тензор энергии-импульса Р представляет в уравнениях (12-3) плотности энергии и импульса и напряжения среды, исключая энергию, импульс и напряжения гравитационного поля. Он удовлетворяет уравнению непрерывности

Эти уравнения ковариантны, они преобразуются как компоненты вектора. Именно поэтому они не могут быть названы законами сохранения в обычном смысле слова. В обычном законе сохранения изменение во времени некоторого пространственного трехмерного интеграла определяется поверхностным интегралом другого выражения, представляющим поток через поверхность, ограничивающую трехмерный

объем. Другими словами, истинный закон сохранения имеет вид:

или после применения к поверхностному интегралу теоремы Гаусса:

В общей теории относительности закон сохранения электрического заряда имеет такую форму:

а выражения и т. д. представляют собой заряд, содержащийся в объеме V, ток через поверхность, параллельную плоскости

В то время как ковариантная дивергенция вектора эквивалентна обычной дивергенции векторной плотности, ковариантная дивергенция симметричного тензора второго ранга не эквивалентна обычной дивергенции соответствующей тензорной плотности. Однако можно найти четыре выражения, удовлетворяющие четырем обычным законам сохранения и не являющихся при этом компонентами тензора.

Уравнения

без последнего члена имеют вид четырех законов сохранения. Покажем теперь, что последний член может быть представлен в виде обычной дивергенции.

Прежде всего, в силу уравнений поля (12.3), можно заменить через Далее рассмотрим выражение содержащее только и его производные. Заменяя символ Кристоффеля производными метрического тензора, получим:

Для доказательства того, что последнее выражение есть обычная дивергенция 16 величин, используем тот факт, что выражения являются левыми частями уравнений Эйлера-Лагранжа вариационного принципа.

Сперва покажем, что существует вариационный интеграл, который содержит только первые производные метрического тензора и приводит к тем же уравнениям Эйлера-Лагранжа, что и интеграл (12.43).

Прибавление к подинтегральной функции (обычндй) дивергенции ведет к тому, что к интегралу (12.43) прибавляется выражение, которое с помощью теоремы Гаусса может быть записано в виде поверхностного интеграла. При таком варьировании подинтегрального выражения, когда вариации переменных и их производных исчезают на границах, добавочный член, обусловленный дивергенцией, остается неизменным. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не меняются при прибавлении дивергенции в уравнении (12.43).

Рассмотрим теперь интеграл (12.45). Первые два члена могут быть преобразованы следующим образом:

Первые два члена правой части имеют вид дивергенции. В силу сказанного выше уравнения Эйлера-Лагранжа останутся неизменными, если вычесть эти члены из . В оставшихся членах заменим всюду производные метрического тензора символами Кристоффеля согласно формуле

Комбинируя их с остальными членами подинтегрального выражения (12.45), получим уравнение:

Функция не является, конечно, скалярной плотностью, не инвариантно относительно преобразования координат. Однако уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие интегралу ковариантны. Рассматривая как функцию для получим:

Умножая это уравнение на найдем:

Сумма первого и последнего членов справа представляет собой производную по зависит от координат не

непосредственно, а через . Поэтому имеем

На этом доказательство, в сущности, заканчивается. Действительно, выражение слева равно

откуда находим, что уравнения (12.61) приводятся к виду

Выражения

не являются компонентами тензора. Однако они все же называются компонентами «псевдотензора» энергии-импульса общей теории относительности, так как удовлетворяют четырем законам сохранения (12.70)

Компоненты энергии-импульса гравитационного поля содержат только первые производные от можно сказать, что они являются алгебраическими функциями гравитационных напряженностей поля. Для общей теории относительности характерно, что величины такого типа не могут быть тензорами. Всегда возможно найти такую систему отсчета, в которой «напряженность гравитационного поля" в данной точке

исчезает, и тогда компоненты энергии-импульса в этой точке также обращаются в нуль.

Обратно, в плоском пространстве можно выбрать систему отсчета, в которой наблюдаются «силы инерции. По принципу эквивалентности в данной точке «силы инерции нельзя отличить от гравитационных полей; поэтому компоненты отличны от нуля в неинерциальной системе координат.