Интегрируемость аффинной связности.

Чтобы найти такой метод, вернемся к понятию параллельного переноса вектора, введенному в главе V. Параллельный перенос вектора вдоль кривой при коэфициентах аффинной связности возможен единственным способом в соответствии со следующими дифференциальными законами:

Метрический тензор определяет частный вид аффинной связности где

Если коэфициентами аффинной связности являются символы Кристоффеля, результат параллельного переноса вектора не зависит от того, применяются ли законы (11.2) к его ковариантным или контравариантным компонентам.

Будем параллельно переносить вектор вдоль замкнутой кривой (фиг. 9), пока не вернемся в исходную точку. При этом перенесенный вектор либо будет совпадать с исходным, либо будет от него отличаться. Если получается тот же самый вектор независимо от выбора исходного вектора и формы замкнутой кривой, аффинную связность называют интегрируемой.

Фиг. 9. Интегрируемость аффинной связности. В (а) аффинная связность интегрируема, в (b) — нет. (см. скан)

В этом случае говорят также о „дистанционном параллелизме"; это означает, что при параллельном переносе вектора из точки в точку составляющие полученного вектора не зависят от выбора кривой, связывающей эти точки. Если аффинная связность

интегрируема, задание вектора в одной точке определяет полное поле параллельных векторов во всем пространстве.