Критерий интегрируемости.

Если аффинная связность пространства симметрична и интегрируема, уравнения параллельного переноса (11.2) могут рассматриваться не

только как обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль заданного пути, но и как уравнения в частных производных для векторного поля в целом. Их можно записать в виде

Аналогичные уравнения имеют место для ковариантных векторных полей. Эти уравнения переопределены, так как для определения составляющих вектора имеется уравнений. Для того чтобы существовали решения, должен удовлетворяться ряд дифференциальных тождеств. Вид этих тождеств хорошо известен. Дифференцируя уравнения (11.19) по получим:

Вычитая отсюда такое же выражение с переставленными индексами и к, найдем условия, которые должны удовлетворяться в силу того, что порядок дифференцирования не играет роли:

Так как значения в одной точке можно выбрать произвольно, окончательные условия интегрируемости имеют вид:

Эти условия не только необходимы, но и достаточны. Доказательство этого проводится таким же путем, как и доказательство теоремы о том, что козариантное векторное поле является градиентным полем тогда и только тогда, когда ротор обращается в нуль (см. задачу 14, главы V).