Первое приближение и закон сохранения массы.

В первом приближении используем следующие значения компонент:

С их помощью образуем символы Кристоффеля первого рода:

и символы Кристоффеля второго рода:

Для компонент метрического тензора получаем выражения

а уравнения поля в первом приближении запишутся в виде:

В качестве решения первого уравнения можно выбрать выражение

Это решение соответствует случаю точечных масс. Все полюса высших порядков мы из рассмотрения исключили. Масса точечной массы, согласно (12.34), равна:

Возможно предположить, что эта масса может еще зависеть от временной координаты но вскоре будет показано, что в действительности массы постоянны. функций у от определяют положения точечных масс в каждый момент времени

Докажем теперь с помощью трех уравнений что параметры (а поэтому и массы М) постоянны. Это

доказательство проводится с помощью метода, последующий этап приближения которого способствует нам в выводе (классических) уравнений движения. Прежде всего докажем следующую лемму: если выражение, зависящее от нескольких индексов, антисимметрично по отношению к двум из них, скажем и t, то его обыкновенная дивергенция по одному из этих индексов, скажем по эквивалентна ротору, компоненты которого характеризуются вторым (не немым) антисимметричным индексом (в нашем случае ). При этом, как обычно, предполагается, что пробегают значения от 1 до 3. Доказательство проводится путем непосредственного составления интересующих нас величин. Пусть антисимметрично в и Обозначим

Выражения тогда равны следующим:

аналогичные соотношения справедливы и для других двух дивергенций.

Вернемся к уравнениям Они содержат величину являющуюся дивергенцией антисимметричного выражения. Эта дивергенция эквивалентна ротору, компоненты которого нумеруются индексом По теореме Стокса интеграл ротора по замкнутой поверхности равен нулю. Другими словами,

здесь означает косинус угла между координатой и нормалью к элементу поверхности Применим (15.16) к замкнутой поверхности, окружающей особенность, но выбранную так, чтобы на самой поверхности не было особенностей. На поверхности (но не внутри ее) должны удовлетворяться уравнения поля, поэтому имеем

Это уравнение выражает собой то условие, что параметры остаются постоянными, ибо интеграл представляет собой просто «число силовых линий», исходящих из области S, и поэтому пропорционален Уравнение (15.17) соответствует условию

Последнее, что можно сделать в первом приближении, это решить дифференциальные уравнения относительно

где теперь рассматриваются как постоянные. Уравнения (15.6) и (15.7) показывают, что эти уравнения

удовлетворяются выражениями:

(точкой обозначено дифференцирование по ), что доказывается просто подстановкой в (15.19).

Для получения уравнений движения необходимо перейти ко второму приближению.