Глава XI. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ
Характерные особенности римановых пространств.
Согласно определению, данному в главе V, эвклидовыми пространствами называются такие пространства, в которых можно ввести декартовы координаты; все остальные пространства не являются эвклидовыми.
Даже если нам известно, что в некотором частном случае компоненты метрического тензора являются известными функциями координат в некоторой системе координат, все же и в этом случае немыслимо перебрать все возможные преобразования координат, чтобы выяснить, не приводит ли какое-либо из них к декартовой системе. Поэтому необходимо найти подходящий критерий, который всегда давал бы возможность определить, является ли пространство эвклидовым или же нет.
Неэвклидовы пространства, с которыми мы обычно имеем дело, представляют собой двумерные кривые поверхности, которые можно рассматривать как подпространства в обычном трехмерном пространстве. Казалось бы, что геометрические свойства этих подпространств нельзя рассматривать вне связи с пространством, в которое они вложены. В действительности же это не так, по крайней мере по отношению к вопросу об эвклидовости или неэвклидовости пространства. Выберем, например, в качестве поверхности плоский лист разграфленной бумаги. Линии на бумаге представляют декартову систему координат, так что эта плоскость без сомнения является эвклидовой поверхностью. Изменим теперь связь этой поверхности с трехмерным пространством, свертывая лист бумаги; линии на нем будут при этом попрежнему образовывать декартову систему координат. Как до, так и после свертывания бумаги
расстояние между двумя бесконечно близкими точками на листе определяется уравнением
Иначе говоря, метрический тензор имеет следующие компоненты:
Более того, линии, образовавшиеся из прямых в результате свертывания, остаются кратчайшими линиями, которые можно провести между двумя точками, не выходя за пределы двумерного подпространства.
Эвклидов характер пространства зависит только от метрики. Необходимо, таким образом, найти метод, при помощи которого можно было бы отличить эвклидову метрику от неэвклидовой.
