Глава XVIII. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ КАЛУЗА
Возможные обобщения теории Калуза.
Несмотря на то, что теория Калуза не приводит к новым уравнениям поля и не дает ответа на нерешенные вопросы теоретической физики, все же представляется заманчивым произвести на ее основе некоторое изменение общей теории относительности. Вместе с тем, исходя из теории Калуза, можно несколькими способами подойти к созданию новой теории, в которой гравитационное и электромагнитное поля являлись бы частями единого поля.
Одна из попыток обобщения теории Калуза принадлежит Эйнштейну и Майеру. Как и Калуза, они приняли, что физическое пространство является четырехмерным. При этом они ввели пятимерный тензорный анализ, не вводя в то же время пятимерного пространства и пятимерной системы координат. Они предположили, что существуют тензоры, индексы которых пробегают значения от 1 до 5, но компоненты которых являются функциями только четырех координат. Кроме четырехмерных преобразований координат, существуют еще преобразования «пятимерных тензоров» с матрицами преобразования и При этом «пятимерные векторы», например, преобразуются согласно уравнениям
где 
— произвольные функции четырех координат. Если ввести пятимерную систему коордннат, матрица 
образовывелась бы из производных новых координат по старым
и поэтому удовлетворяла бы дифференциальным тождествам
Однако ничего подобного не предполагается в теории Эйнштейна-Майера. Поэтому количество дифференциальных ковариантов в ней не равно числу таковых в теории Калуза. Хотя здесь также вводятся величины и 
для перевода четырехмерных тензоров в пятимерные и наоборот, выражения
которые равны нулю в теории Калуза, в теории Эйнштейна-Майера, вообще говоря, не равны нулю и даже не являются ковариантными. Выражения
ковариантные в теории Калуза, не инвариантны в этой теории. С другой стороны, в теории Эйнштейна-Майера существует ряд таких дифференциальных ковариантов, аналогии которых в теории Калуза тождественно равны нулю. Их количество даже столь велико, что не все из них могут получить физическую интерпретацию.
Возможно также обобщение теории Калуза путем ослабления условия А-цилиндричности. Это было сделано Эйнштейном и Бергманом, а позднее Эйнштейном, Баргманом и Бергманом в двух статьях, содержание которых будет вкратце изложено в этой главе.
