Приближенный метод.

В релятивистской теории гравитации, так же как в электродинамике, электрические заряды и массы представляются особыми точками переменных поля. При наличии особенностей изменение поля во времени полностью не определяется. Рассмотрим, например, поле Шварцшильда. Вблизи начала координат имеется особая область, сферическая поверхность г=2хт. Окружим эту особую область небольшой двумерной поверхностью S, снаружи которой поле везде регулярно и удовлетворяет уравнениям поля.

Поле Шварцшильда статично. Однако если мы ничего не знаем относительно поля внутри S, то может возникнуть излучение электромагнитных или гравитационных волн через поверхность S изнутри наружу. Если это излучение имеет преимущественное направление, произойдет „отдача”, т. е. ускорение всей особой области в противоположном направлении.

Другими словами, нельзя ожидать, что закон движения справедлив для всякой особенности. Движение особенности

может быть определено, если она не является источником излучения. Поэтому закон движения может быть получен только в предположении, что особенность является и остается простым полюсом (уравнения поля могут также иметь решения, соответствующие «диполям масс и т. п.) и что не происходит спонтанного излучения.

Эти условия трудно сформулировать инвариантным образом. Существуют, например, гравитационные волны, связанные с ускоренным движением точечной массы. Различие между в спонтанными волнами и „гравитационным тормозным излучением имеет простой физический смысл, однако его математическая формулировка не представляется возможной.

Чтобы избежать этих трудностей, Эйнштейн и его сотрудники вынуждены были получать законы движения с помощью приближенного метода, при котором математическая формулировка необходимых предположений значительно проще.

Их метод аппроксимации аналогичен обычному методу, описанному в главе XII, который в первом приближении приводит к „линеаризации уравнений поля. Однако он отличается от последнего одним важным обстоятельством. Предположение, что спонтанного излучения не происходит, эквивалентно предположению, что переменные поля меняются со временем не быстрее, чем этого требует движение особенности. Скорость последнего мала в сравнении со скоростью света. Поэтому предполагается, что дифференцирование по (измеренному в релятивистских единицах) приводит к величинам высшего порядка.

Это предположение можно сформулировать несколько иным способом. Если снова ввести метрические единицы (т. е. если в качестве метрического тензора плоского пространства использовать вместо скорости материальных тел будут порядка единицы, а дифференцирование переменных поля по не будет менять их порядка величины. С другой стороны, будет тогда рассматриваться, как малая величина, которая может служить параметром разложения переменных поля в степенные ряды

(параметр X главы XII). Тензор например, примет вид

Член опускается, так как в противном случае было бы порядка единицы, в связи с чем первое приближение стало бы нелинейным. Как и в главе XII, введем величины помощи уравнений

Y также разложим в степенные ряды по

Покоящиеся точечные массы представляются решениями уравнений поля, которые в первом приближении даются уравнениями (12.31а) и (12.34) или в метрических единицах выражениями

Поэтому предположим, что величины равны нулю. Для получения в том же приближении поля точечной массы

нужно произвести преобразование Лорентца; преобразуется согласно закону:

где имеют те же значения, что и в главе V (уравнение (5.111)). Величины

преобразуется по тому же закону, что и так как закон преобразования линеен, и остаются неизменными.

По тому же закону преобразуются и что может быть проверено непосредственным вычислением. Применяя эти законы преобразования к уравнению (15.4), получим следующие выражения:

Коэфициенты отличаются от единицы только малыми величинами порядка Коэфициенты представляются выражениями

и таким образом являются малыми величинами порядка Отсюда видно, что величины у, к которым приводит преобразование, того же порядка, а величины — порядка Величины для поля точечной массы исчезают, даже если эта масса движется.

В первом приближении естественно принять, что полное поле является просто суммой полей различных точечных масс. Разложение будем начинать, согласно сказанному, с члена, содержащего

Подставляя разложения (15.1) и (15.3) в уравнения поля и приравнивая коэфициенты при членах с одинаковыми степенями получим ряд систем уравнений. Метод

Эйнштейна, Инфельда и Гофмана и заключается в получении и решении таких систем уравнений. Каждая последующая система уравнений содержит ряд величин не входивших в предыдущие системы, и, кроме того, ряд других определенных ранее. Новые“ величины всегда входят линейно, так что на каждой последующей стадии приближенного метода приходится решать только линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Определение движения особенностей производится следующим образом. На каждой стадии метода приближения нужно решить десять линейных неоднородных уравнений относительно десяти величин Левые части этих уравнений, содержащие еще неизвестные величины, не независимы друг от друга, а удовлетворяют четырем дифференциальным тождествам. Если правые части (которые содержат уже определенные величины) не удовлетворяли бы тем же тождествам, дифференциальные уравнения были бы не совместимы друг с другом. Таким образом, каждая стадия приближенного метода налагает условия на предыдущую. В отсутствии особенностей эти условия ничего не дают, однако при наличии особенностей они являются как раз уравнениями движения.

Эйнштейн и его сотрудники при помощи этого метода довели вычисления до той стадии, на которой начинают сказываться релятивистские эффекты. Мы ограничимся приближением, приводящим к классическим уравнениям движения, так как на этой стадии уже можно видеть связь между уравнениями поля и уравнениями движения.

Разложим компоненты тензора кривизны, символы Кристоффеля и ковариантные и контравариантные компоненты метрического тензора в степенные ряды по и приравняем коэфициенты разложения по индексам, написанным под каждым символом, причем нижний индекс будет относиться к коэфициенту при Например, будет означать ту часть которая умножается на

ту часть которая умножается на и так далее.

Используя выражения для метрического тензора (15.1), найдем, что разложения в ряды компонент начинаются со следующих степеней . В дальнейшем нам понадобятся только первые неисчезающие члены разложения каждой компоненты, т. е. , кроме того, величина Чтобы получить их значения, вычислим символы Кристоффеля первого и второго рода и с точностью до членов с