Представление четырехмерных тензоров в трех плюс одном измерениях.
В предыдущей главе мы видели, что различные трехмерные величины часто являются компонентами некоторой четырехмерной величины. Например, «релятивистская масса», представляющая собой скаляр относительно ортогональных пространственных преобразований, и «релятивистский импульс», являющийся пространственным вектором, рассматриваемые совместно, представляют собой компоненты одного мирового вектора — вектора энергии-импульса.
И обратно, рассматривая лишь группу одних пространственных преобразований вместо группы общих преобразований Лорентца, мировой вектор или тензор можно разложить на несколько частей, преобразующихся независимо друг от друга. В случае чисто пространственных преобразований четырехрядная матрица коэфициентов преобразования, 
примет вид:
где 
— коэфициенты ортогонального преобразования. Контравариантный мировой вектор V преобразуется следующим образом:
Мировой тензор второго ранга 
подобным же образом можно разложить на трехмерный тензор, два трехмерных вектора и трехмерный скаляр:
Если мировой тензор 
симметричен, трехмерный тензор будет также симметричен, а оба вектора будут равны друг другу. Если тензор 
антисимметричен, трехмерный тензор также будет антисимметричным (и поэтому эквивалентным «аксиальному вектору»), векторы будут равны и противоположно направлены, а скаляр равен нулю. Ковариантные векторы и тензоры могут быть разложены подобным же образом.
Четырехмерные ковариантные операции и уравнения могут быть разложены таким же образом, как мировые векторы и тензоры разлагаются на трехмерные тензоры, векторы и скаляры. Обозначим две составные части мирового вектора 
через 
Дивергенция 
равна
Аналогично части, на которые раскладывается тензор 
обозначим через 
Дивергенция такого тензора 
может быть разложена на, 
.
Система уравнений
тогда разложится на две системы:
Если мировой тензор 
антисимметричен, эти уравнения могут быть записаны так, что будут содержать только векторы. Вместо трехмерного антисимметричного тензора 
можно ввести «аксиальный вектор» 
при помощи соотношений:
Дивергенция тензора 
примет тогда вид:
Согласно уравнению (5.386) она является 
компонентой 
. Для первой совокупности уравнений (7.13а) тогда имеем:
Как уже указывалось, если V антисимметричен, v равно 
Последнее уравнение в (7.13а) поэтому принимает вид
Антисимметричные производные раскладываются подобным же образом. Рассмотрим ковариантный мировой вектор В, с трехмерными составляющими 
. Его четырехмерный ротор, 
может быть разложен следующим образом:
Задавая «аксиальный вектор» 
уравнениями,
получим:
Эти примеры показывают, как типичные четырехмерные соотношения распадаются на несколько кажущихся независимыми трехмерных векторных соотношений. Теперь можно перейти к рассмотрению уравнений поля Максвелла в четырехмерной форме.
