Дифференциальные уравнения поля.

Имеются два возражения против уравнений поля, полученных из вариационного принципа. Во-первых, эти уравнения определяются неоднозначно; всякая линейная комбинация скаляров (18.13), умноженная на может быть использована в качестве лагранжиана. Во-вторых, уравнения поля, полученные таким образом, не являются чисто дифференциальными уравнениями.

Если бы уравнения поля представляли собой систему чисто дифференциальных уравнений, их следовало бы подчинить более сильным тождествам, чтобы они имели решения, имеющие смысл. В действительности же имеется четырнадцать дифференциальных уравнений, связанных

четыремя дифференциальными и одним интегро-дифференциальным тождеством; при этом система определена однозначно.

Рассмотрим пятнадцать выражений образованных из свернутого пятимерного тензора кривизны

Эти пятнадцать величин удовлетворяют пяти соотношениям

Если VI обозначить через и выбрать специальную систему координат, (18.23) примет вид

Здесь учтено, что, в силу (18.8а), символы Кристоффеля равны . Отсюда видно, что четырнадцать выражений удовлетворяют четырем дифференциальным тождествам; кроме того, дифференциальное выражение первого порядка, входящее в тождественно равно первой производной по и его интеграл по одному периоду -кривой поэтому равен нулю. Четырнадцать уравнений

удовлетворяют, таким образом, нужному количеству тождеств. Они также ковариантны относительно преобразований специальной системы координат в силу того, что

являются -тензорами:

Путем непосредственного, но громоздкого вычисления можно показать, что не существует другой системы четырнадцати дифференциальных уравнений второго порядка, ковариантных относительно преобразований специальной системы координат, удовлетворяющей тождествам, аналогичным (18.25). Эти уравнения имеют такой же вид, как и уравнения, полученные из соответствующего вариационного принципа, но в отличие от последних являются чисто дифференциальными. Мировая плотность тока и в этом случае не равна нулю.