Часть III. ЕДИНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Глава XVI. ГРАДИЕНТНО-ИНВАРИАНТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕЙЛЯ
В общей теории относительности гравитационное поле образует основу геометрической структуры метрического пространства, в то время как электромагнитное поле не имеет никакого отношения к геометрии пространства. Было сделано много попыток построить новую теорию гравитации и электромагнетизма на основе измененной геометрии, в которой наряду с метрическим тензором нужно было бы ввести и другие геометрические величины. Одной из наиболее удачных геометрий такого типа несомненно является градиентно-инвариантная геометрия Г. Вейля. Несмотря на красоту геометрических концепций, удовлетворительной теории с ее помощью создать, однако, не удалось.
В этой главе мы рассмотрим геометрию Вейля и соответствующие ей теории поля. Формализм, которым мы будем пользоваться, отличается от вейлевского, но он ему эквивалентен в отношении образования ковариантных величин. Все ковариантные построения вейлевского формализма соответствуют рассматриваемым здесь ковариантным построениям, и наоборот. Однако в нашем формализме нет одной неинвариантной особенности вейлевского формализма — градиентного параметра и соответствующих ему градиентных преобразований.
Геометрия. В метрическом пространстве пространственно-временной интервал между двумя бесконечно близкими мировыми точками 
инвариантен. Каждой мировой точке соответствует инвариантный „конус”, „световой конус, в направлении которого 
равно нулю. Идея Вейля заключается в таком видоизменении геометрии, чтобы при
этом сохранялась бы инвариантность светового конуса, но в то же время 
терял бы свой инвариантный характер. Вопрос о том, соответствует ли это опыту, остается открытым. Трудно сомневаться в том, что возможные направления световых лучей являются инвариантными свойствами физического пространства. Но существуют также «атомные часы“, которые являются универсальным стандартом для единиц собственного времени. Конечно, возможно, что частота стандартных спектральных линий в действительности несколько меняется, так что, строго говоря, не существует точных эталонов для измерений собственного времени. Тем не менее, мы попытаемся построить геометрию, удовлетворяющую основным положениям Вейля.
Нулевые направления полностью определяются отношениями различных компонент метрического тензора. Поэтому Вейль ввел, наряду с преобразованиями координат, „градиентные преобразования", при которых компоненты метрического тензора умножаются на произвольную функцию координат. При этом линейный элемент 
умножается на тот же множитель и, следовательно, не является яградиентным инвариантом". Возможно построить геометрию, инвариантную и относительно градиентных преобразований и относительно преобразований координат.
Вместо градиентных преобразований введем „условия нормировки" произвольного множителя линейного элемента и потребуем, чтобы детерминант равнялся —1:
Если бы характер преобразования 
был сохранен, это условие нормировки не было бы инвариантным. Поэтому предположим в этой главе, что 
преобразуются как компоненты тензорной плотности с весом -1/2;
Линейный элемент 
таким образом, уже не является инвариантным. Детерминант может быть представлен в виде произведения метрических тензоров и тензорных плотностей Леви-Чивита:
Каждая тензорная плотность Леви-Чивита имеет 
поэтому детерминант является скаляром, а уравнение (16.1) представляет инвариантное условие. В силу условия нормировки (16.1) метрическая тензорная плотность, имеющая вес 
имеет только девять алгебраически независимых компонент.
