Поднятие и опускание индексов.

Ковариантный вектор может быть получен из контравариантного умножением на метрический тензор и суммированием по паре индексов:

Обратный процесс производится умножением на контравариантный метрический тензор:

Из определения контравариантного метрического тензора (5.64) следует, что уравнение (5.71) эквивалентно уравнению (5.70), другими словами, уравнение (5.71) приводит к тому же контравариантному тензору, который фигурирует в (5.70). Два вектора могут поэтому рассматриваться, как два равноправных описания одного и того же геометрического понятия. Операции (5.70) и (5.71) называются поднятием и опусканием индексов. Таким же образом поднимаются и опускаются индексы у тензоров

Норма вектора определяется скаляром

скалярное произведение двух векторов может быть записано в любой из следующих форм: