Свойства тензора кривизны.

Тензор кривизны определяется аффинной связностью. Однако некоторыми свойствами симметрии он обладает только при том условии, что коэфициентами аффинной связности являются символы Кристоффеля (11.3), определяемые метрикой. Рассмотрим сначала те свойства тензора кривизны, которые не зависят от связи с метрикой.

1) Тензор антисимметричен относительно индексов I и

Выражение (11.27) удовлетворяет этому соотношению независимо от свойств симметрии

Если коэфициенты аффинной связности симметричны а своих нижних индексах, тензор кривизны обладает еще одним свойством симметрии и, кроме того, удовлетворяет ряду дифференциальных тождеств.

2) Сумма компонент тензора кривизныг получающихся при циклической перестановке первых трех индексов, равна нулю

Доказательство производится непосредственным вычислением выражения (11.29).

3) Получим дифференциальные тождества следующим образом. Ковариантно продифференцируем соотношения (11.26) по новым координатам

произведем циклическую перестановку индексов и сложим. В результате получим:

Все скобки слева представляют собой левые части перестановочных соотношений для ковариантного дифференцирования. Как легко показать, эти перестановочные соотношения для ковариантного тензора второго ранга имеют вид:

Применяя этот закон ко всем скобкам в левой части (11.31), получим, например, для первых из них:

При подстановке этого выражения в (11.31) первый член правой части (11.33) сократится со вторым членом

последних скобок правой части (11.31). В силу (11.29) второй член в правой части (11.33) сокращается совместно с членами, получаемыми из только что указанного путем циклической перестановки.

В результате получаем:

Вектор здесь произволен, поэтому тензор кривизны должен удовлетворять следующим тождествам:

которые называются тождествами Бьянки.