Поле точечной массы.

Рассмотрим теперь представление материн в виде отдельных точечных масс, в связи с чем обратимся к линеаризованным уравнениям поля (12.4а).

Прежде всего определим поле, создаваемое покоящейся точечной массой. Оно будет статическим и сферически симметричным. Поместим точечную массу в начало координат. Единственными решениями уравнения Лапласа, исчезающими на бесконечности и не имеющими особенностей во всем пространстве, кроме начала координат, являются производные различных порядков от функции и их линейные комбинации. Для того чтобы решить первую систему уравнений (12.25), предположим, что

где — постоянные, которые нужно определить. Удовлетворим теперь второй системе уравнений (12.25). т. е. координатным условиям. Имеем:

Постоянная должна обращаться в нуль, тогда как остальные постоянные остаются произвольными. Однако при более внимательном рассмотрении можно убедиться, что члены, содержащие постоянные , зависят от выбора системы координат. Производя преобразование координат (12.18), эти члены можно исключить, выбирая функции следующим образом:

В соответствии с законом преобразования (12.21), найдем, что наше решение при этом примет вид

Остающаяся постоянная а определяется образующей поле массой. Ньютоновский потенциал поля, образуемого массой М, равен:

Так как соответствует , то в силу уравнения (12.28) находим, что постоянная а связана с массой М соотношением