Ковариантная формулировка теории Калуза.

Ограничения, наложенные Калуза на пятимерную метрику, эквивалентны предположению, что она является -цилиндрической, т. е., что удовлетворяют уравнениям Киллинга (17.22). Вследствие этого векторы равны нулю, -кривые являются геодезическими. Из уравнения (17.18) следует, что -метрика также является А-цилиндрической.

Далее, в силу уравнений (17.24), также является Л цилиндрическим тензором. В -тензоре черточки могут быть заменены запятыми —

обычным дифференцированием по параметру . В силу (17.29), этот -тензор равен нулю:

Эта совокупность уравнений является условием, которое должно удовлетворяться в том случае, когда представляет собой антисимметричные производные четырехмерной функции Эти четыре функции определяются с точностью до произвольного аддитивного градиента.

В „специальной системе координатв силу уравнений (17.60) и (17.59), величины и их антисимметричные производные

не зависят от

Мы видим, что в теории Калуза при выборе специальной системы координат как так и не зависят от и что антисимметричные производные от образуют -тензор. Если не использовать специальной системы координат, то определить становится невозможным, но -тензор тем не менее удовлетворяет второй паре уравнений Максвелла (17.64), являются функциями только четырех аргументов Поэтому обладают всеми свойствами, соответственно, гравитационных потенциалов и электромагнитных напряженностей поля общей теории относительности.

Чтобы получить уравнения поля, Калуза предположил, что лагранжианом вариационного принципа является пятимерная скалярная кривизна умноженная на квадратный корень из детерминанта . Пятимерная скалярная кривизна связана со скалярной -кривизной с помощью (17.51). Так как в теории Калуза обращается в нуль, и так как только антисимметрические части ковариантных производных не исчезают, (17.51) сводится к следующему виду:

В силу (17.61), в специальной системе координат детерминант может быть заменен на . Так как

лагранжиан А-цилиндричен, то вариационный интеграл может быть распространен как на пятимерную область координат так и на четырехмерную область параметров Поэтому для вариационного принципа Калуза имеем:

где вариации подчиняются условиям

Этот вариационный принцип эквивалентен уравнению (12.56). Получающиеся отсюда уравнения поля таковы же, как и в общей теории относительности (включая электромагнитное поле).