Движение перигелия Меркурия.

Рассмотрим движение небольшого тела в поле Шварцшильда, создаваемом телом массы значительно большего размера. При этом удобно ввести полярные координаты, определяемые следующими уравнениями:

В этих координатах метрический тензор имеет вид:

а все остальные его компоненты равны нулю.

Уравнениями движения малой частицы в этом поле Шварцшильда будут

Вычислим символы Кристоффеля Если для краткости ввести обозначение

для неисчезающих символов Кристоффеля получим:

Если упростить нашу механическую задачу, предполагая, что движение происходит в плоскости то уравнения движения получим в виде следующих дифференциальных уравнений:

Один из интегралов этих уравнений дает определение дифференциала собственного времени

Первое уравнение (14.6) имеет интеграл

Последнее уравнение (14.6) дает интеграл момента количества движения

Интеграл (14.8) соответствует интегралу энергии. Три уравнения (14.7), (14.8) и (14.9) заменяют уравнения второго порядка (14.6). Наконец, с помощью уравнения (14.8) можно исключить координатное время t, в результате чего получаем два уравнения:

где заменено его значением 1—5. Отличие этих уравнений от классических уравнений движения тела в ньютоновском поле состоит в том, что последний член первого уравнения (14.10) отсутствует в нерелятивистских уравнениях и что дифференцирование производится по собственному времени, а не по координатному. Классическими интегралами энергии и момента количества движения будут

где — масса движущегося тела.

Уравнения (14.10) нельзя решить точно. Однако возможно найти такое приближенное решение, в котором первое приближение соответствует классической траектории тела, а второе приближение показывает отклонение решений релятивистских уравнений (14.10) от классических (14.11).

Умножим первое уравнение (14.10) на и подставим значение этого множителя из второго уравнения. Тогда

получим дифференциальное уравнение

которое после введения функции переходит в

Дифференцируя по получим отсюда уравнение второго порядка:

Отличие этого релятивистского уравнения от соответствующего классического обусловлено вторым членом в круглых скобках, Согласно (14.9) этот член равен

другими словами, он приблизительно пропорционален квадрату компоненты скорости, перпендикулярной радиусу-вектору. В „релятивистских единицах" времени, в которых скорость света равна единице, скорость звезд, например, мала по сравнению с единицей. Релятивистский член в уравнении (14.14) является поэтому поправкой высшего порядка. Решением уравнения

будет

где — постоянные интегрирования, представляет собой эксцентриситет эллипса, а определяет положение перигелия.

Решения уравнений (14.14), которые апроксимируются эллипсами, являются периодическими. Уравнение (14.13)

каждому значению а ставит в соответствие два значения отличающиеся только знаком. Решения будут периодическими, если правая часть уравнения (14.13) имеет два нуля в области положительных значений и и положительна между этими двумя нулями. В этом случае решение будет осциллировать между этими двумя нулями. Приближенное решение (14.17) имеет период т. е. представляется замкнутыми орбитами. Периоды точных решений уравнения (14.14) будут, однако, отличаться от малой величиной. Разложим периодические решения уравнения

в ряды Фурье

Если малая постоянная, решение может быть апроксимировано выражением

Предположим поэтому, что в этом приближении равно а, а и другие коэфициенты, по крайней мере, порядка X. Иначе говоря, выражение (14.19) мы заменяем рядом

Подставим это выражение в (14.18), пренебрегая членами второго и высшего порядков относительно Для а" получим

Для имеем

Уравнение (14.18) поэтому переходит в

Приравнивая постоянные члены и коэфициенты при и при , получим соотношения

Нас интересует только второе соотношение, определяющее . Легко видеть, что мало отличается от единицы:

Подставляя для X и а их значения, определяемые (14.14), найдем

Угол между двумя последовательными перигелиями поэтому равен

Смещение перигелия планетной орбиты на радиан за время полного оборота может быть наблюдаемо у Меркурия, для которого оно составляет в столетие. Предсказываемое и наблюдаемое значения смещения хороша согласуются в пределах экспериментальных ошибок астрономических наблюдений.

Специальная теория относительности также предсказывает прецессионный эффект при движении тела в поле потенциалом у. Однако количественно она дает результат, отличный от полученного в общей теории относительности.

Чтобы убедиться в этом, возвратимся к рассмотренной в главе IX релятивистской трактовке атома водорода, данной Зоммерфельдом. Уравнения (9.27) соответствуют уравнениям (14.7), (14.8) и (14.9) настоящей главы. Их можно записать в виде:

в последнем уравнении можно заменить его выражением из первого уравнения, что приводит к уравнению, не содержащему t:

Умножая это уравнение на

получим:

Вводя опять новую функцию , найдем дифференциальное уравнение для а:

Дифференцирование по приводит к уравнению второго порядка

которое имеет следующие решения:

Отсюда получаем величину смещения перигелия за один период

Чтобы сравнить это выражение с (14.24), нужно заменить (коэфициент кулоновского взаимодействия) на (коэффициент гравитационного взаимодействия в законе Ньютона).

Далее, постоянную К нужно положить равной постоянная, фигурирующая в уравнении (14.24)], так как в уравнении (14.25) измеряется в метрических единицах. Таким образом, вместо (14.32) получаем

т. е. смещение, в шесть раз меньшее, чем в общей теории от нос ительности.