Глава XVII. ПЯТИМЕРНАЯ ТЕОРИЯ КАЛУЗА И ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Теория Калуза.

Остановимся еще на одной попытке создания геометрии (принадлежащей Калуза), в которой как гравитационный, так и электромагнитный потенциалы определяли бы структуру пространства. В то время как Вейль пошел по пути создания неримановой геометрии, Калуза решил увеличить число компонент метрического тензора, изменив число измерений пространства. Он предположил, что, кроме четырех измерений физического пространства, существует еще пятое измерение, не имеющее прямого физического смысла.

Количество компонент симметричного тензора второго ранга в измерениях равно

В пятимерном пространстве метрический тензор имеет, таким образом, пятнадцать компонент. Для того, чтобы учесть четырехмерный характер физического мира, Калуза предположил, что при соответствующем выборе координат компоненты метрического тензора не будут зависеть от пятой координаты. Наконец, чтобы уменьшить количество переменных на единицу, он принял, что в той системе координат, где переменные поля не зависят от компонента метрического тензора с индексами (5,5) — постоянная и равна единице. Исходя из этих предположений, Калуза показал, что, по крайней мере в первом приближении, четырнадцать дифференциальных уравнений:

эквивалентны четырнадцати уравнениям поля (12.55), определяющим гравитационное и электромагнитные поля, если компоненты метрического тензора, в которых один индекс равен 5, отождествить с электромагнитными потенциалами.

Вскоре было показано, что эта эквивалентность является не приближенной, а точной, если за гравитационные потенциалы принять „собственные" комбинации компонент метрического тензора.

Чтобы облегчить сравнение теории Калуза с другими теориями, разовьем сначала общий формализм, применимый и в некоторых других теориях, а затем возвратимся к строгой формулировке предположений Калуза.