Произведя линейное преобразование координат
о
получим новые разности координат
Эти уравнения можно решить относительно
Уравнение (5.2 а) в новых переменных имеет вид:
Новая система координат является прямоугольной декартовой системой только в том случае, когда соотношение (5.6) формально идентично с (5.2 а), т. е. если
(5.7) можно записать в более сжатой форме, употребляя символ Кронекера
определяемый соотношениями
(5.7) запишется тогда в виде
(5.7 а) представит собой условие, которому должно удовлетворять уравнение преобразования (5.3), чтобы новая система была также декартовой.
Легко найти условия, которым должны удовлетворять коэфициенты
Подставляя (5.4) в (5.5), получим:
и так как это справедливо для произвольного
то
Умножим теперь (5.7 а) на
и просуммируем по трем возможным значениям
. В силу (5.10) и (5.7 а), получим
Заменяя в уравнении
через
и т. д., получим
Уравнение (5.10) приобретает при этом вид
Уравнения (5.76) или (5.10 а) вместе с (5.3) определяют группу ортогональных преобразований.