Ортогональные преобразования.

Начнем с рассмотрения прямоугольной декартовой системы координат, причем обозначим ее три координаты через (вместо ). Обозначим также разности координат между двумя точками Р и Р через Расстояние между двумя точками равно:

Произведя линейное преобразование координат о

получим новые разности координат

Эти уравнения можно решить относительно

Уравнение (5.2 а) в новых переменных имеет вид:

Новая система координат является прямоугольной декартовой системой только в том случае, когда соотношение (5.6) формально идентично с (5.2 а), т. е. если

(5.7) можно записать в более сжатой форме, употребляя символ Кронекера определяемый соотношениями

(5.7) запишется тогда в виде

(5.7 а) представит собой условие, которому должно удовлетворять уравнение преобразования (5.3), чтобы новая система была также декартовой.

Легко найти условия, которым должны удовлетворять коэфициенты Подставляя (5.4) в (5.5), получим:

и так как это справедливо для произвольного то

Умножим теперь (5.7 а) на и просуммируем по трем возможным значениям . В силу (5.10) и (5.7 а), получим

Заменяя в уравнении через и т. д., получим

Уравнение (5.10) приобретает при этом вид

Уравнения (5.76) или (5.10 а) вместе с (5.3) определяют группу ортогональных преобразований.